Aprender matemáticas es como tomar clases de piano o de guitarra, no es algo que se improvisa, sino que hay que comprender y deducir mediante el razonamiento lógico en vez de aprender de memoria. Tendrás que comprender la resolución de una ecuación, de una inecuación o de una ecuación diferencial, o saber hacer una tabla de variaciones de una función afín o de una función lineal, etc. Por supuesto, las clases de matematicas requieren el conocimiento de las tablas de multiplicar y el aprendizaje de los diferentes teoremas, especialmente, relativos a la geometría o a la probabilidad (la famosa ley normal y la ley binomial no son innatas). No obstante, para analizar una función (estudiar los límites de las funciones, estudiar una función logarítmica o exponencial, hacer un cálculo integral, etc.), es mejor comprender el lenguaje matemático. Es como una clase de alemán o de inglés, aprendemos el vocabulario y la gramática, pero también tenemos que comprender cómo se construye una oración. Desde el colegio, ya podemos visualizar la primera bestia negra de muchos alumnos: la función afín. Dado que las funciones se encuentran en el plan de estudios y en el currículo de los institutos, hace falta dominarlas cuanto antes mejor. Por supuesto, siempre cabe la posibilidad de completar tu aprendizaje mediante clases particulares. En este artículo a modo de clase de repaso de matematicas primaria, podrás leer más sobre qué es una función afín.«Una teoría matemática se considerará perfecta solo si se ha hecho de una forma tan clara que la pueda entender el primer individuo que pase por la calle». David Hilbert (1862-1943), matemático alemán
Función afín: definición y teorema
Una función afín es una función que, en cualquier valor x definido en ? (la escala de los números reales), asocia el número ax + b, siendo «a» y «b» números relativos.
Representamos esta función mediante la ecuación siguiente: f(x): ax + b o f(x) = ax + b. El número «b» debe ser diferente a 0. ¿Por qué? Porque si b = 0, entonces tenemos que f(x) = ax y entonces hablamos de una función afín lineal. Si «a» es igual a cero, entonces decimos que la función f(x) = b es constante (y afín); de hecho, todos los puntos de la misma línea tienen el mismo eje de ordenadas (b) y la curva será paralela al eje de abscisas.
El valor «b» representa, en una representación gráfica, la ordenada en el origen: es el punto donde la curva pasa por el eje de ordenadas (y) en su distancia desde el origen (0). La variable «a», denominada «coeficiente de dirección», hace referencia al grado de la pendiente de la curva, calculable a partir del eje de abscisas (x) en la gráfica. Cuanto mayor sea el número «a», mayor será la pendiente de la curva, que podrá ser positiva o negativa.Estas son las dos particulares que tendrás que tener en cuenta con la función afín.
Por lo tanto, una función afín es un conjunto de valores que resuelve la ecuación y = ax + b, en el intervalo dado, y cuya representación gráfica tomará la forma de una recta oblicua, creciente o decreciente. Entonces, debemos leer que «f» es la función que en el número «x» coincide con el número «ax + b»: «x» es el antecedente, «ax + b», la imagen de «x» en el intervalo. El resultado escrito es f(x) = ax + b. Por ejemplo si f(x) = 3x, obtendremos una recta, denominada d1, creciente, que corta el eje de ordenadas en el punto 0. Si f(x) = -x, entonces tendremos la recta d2, que será decreciente. Otra peculiaridad que deberás tener en cuenta es que si f(x) = -5, entonces la línea será constante y cruzará el eje en el punto -5. Para calcular la imagen de un «x» real, bastará con multiplicar «x» por el coeficiente «a» y sumar la constante «b». Entonces, podremos comenzar a dibujar la recta en la gráfica. Aborda estas nociones durante las clases de matemáticas con tu profesor matematicas particular. ¡Descubre en qué consiste la división euclídea!Para causar una buena impresión en los ejercicios de representación gráfica matemática en la prueba de acceso a la Universidad, podrás escribir que la recta de f(x) mide la tasa de aumento de las ordenadas por unidad de abscisas.
Hacer la representación gráfica de una función afín
Recuerdo que en el instituto no se me daban demasiado bien las matemáticas, sobre todo, el análisis de funciones. Tardé tiempo, tuve que hacer muchos cursos y ejercicios de matemáticas para finalmente cogerle el truquillo y perfeccionar mi nivel.
Aprender a representar gráficamente una recta de función afín en un eje de coordenadas requiere que el profesor de matemáticas sea un buen pedagogo y sepa transmitir una metodología eficaz a cada alumno.
Sin embargo, aunque podamos decir que no es difícil, siempre que no se comprende, puede parecer todo un mundo.
Para poder representar la recta de una función afín, tomemos como ejemplo la siguiente función: f(x) = 2x – 3 La función f(x) tiene la forma ax +b, siendo a = 2 y b = – 3, por lo que se trata de una función afín. Lo primero que tendremos que hacer para trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 es hallar dos puntos, que los buscaremos al azar a partir del cálculo de x: Para x = 0, f(x) = – 3 [PUNTO A] Para x = 2, f(x) = 1 [PUNTO B] De este modo, obtenemos los puntos A y B cuyas coordenadas X e Y son para A = 0; – 3 y para B = 2; 1. Sin embargo, podemos agregar un tercer punto para evitar posibles errores y verificar que la hemos trazado bien. Por ejemplo, si le damos a «x» el valor de – 2, obtendremos que f(x) = – 7. De este modo, podremos trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 conectando los puntos entre sí. Otro método que podemos utilizar es el siguiente: Comienza por la ordenada – 3, «sube» 4 unidades en el eje y desplaza 2 unidades hacia la derecha en el eje x, o «sube» 6 unidades en el eje de ordenadas y 3 en el de abscisas. Cuando «x» aumenta en 1, «y» aumenta en dos, de ahí que obtengamos que a = 2. De este modo, obtenemos las siguientes coordenadas: A (0, – 3), B (2, 1) y C (3, 3), lo que nos permitirá dibujar la recta d1, donde cada punto de la línea cumple con la ecuación y = 2x – 3. Descubre aquí qué es la geometría.Cuando doy clases de piano a mis amigos, que son tan solo principiantes, hay cuestiones que no entienden desde el primer momento, como las diferencias entre los intervalos para diferenciar un acorde mayor de un acorde menor: la noción de tercer menor o el tercer mayor implica emplear el cálculo de intervalos (tonos y semitonos entre las notas). Sin embargo, para mí es algo sencillo...
¿Cómo determinar una función afín?
Determinar una función f es fácil si conocemos los valores de «a» y «b». En nuestro ejemplo f(x) = 2x – 3. Decimos que f(2) = 1, que f(– 2) = – 7 y que f(1) = – 1. Para determinar nuestra función, podemos emplear dos métodos: el cálculo y la lectura sobre el eje de coordenadas.
Determinar una función a partir de la representación gráfica Es el método más sencillo, pero a partir de la segunda clase, como verás, la gráfica no siempre vendrá en los ejercicios. Para determinar gráficamente f(x) = 2x – 3, bastará con ver qué puntos de la recta cortan los ejes x e y. En nuestro caso, encontramos los puntos A (0; – 3), B (2; 1) y C (3;3), de donde deducimos que la recta d1 presenta una ecuación de tipo y =2x – 3. Determinar una función mediante cálculos Si no contamos con la representación gráfica o el profesor de matemáticas nos pide que razonemos cuál es la representación, ¿cómo lo podemos hacer? Pues aquí te dejamos una fórmula mágica. Cuando f es una función afín no lineal, los valores de «x» que cumplen f(x) no son proporcionales; sin embargo, sí lo son entre los valores de «x». Para calcular el coeficiente de dirección con dos números x1 y x2 y su representación f: a =
Estudiar el signo de una función afín
Ahora que tenemos la pendiente de la recta y su representación gráfica, ¿cómo estudiamos el signo de f?
Cualquier persona que haya cursado estudios superiores de estadística, sin tener que ser «matemáticas» puras, habrá estudiado la noción del signo. Si «a» es positivo, la función f es creciente y si no, será negativa. Si x1
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