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¿En qué consiste las funciones afines?

Publicado por Yann, el 26/07/2018 Blog > Apoyo escolar > Matemáticas > ¿Qué Es una Función Afín?

«Una teoría matemática se considerará perfecta solo si se ha hecho de una forma tan clara que la pueda entender el primer individuo que pase por la calle». David Hilbert (1862-1943), matemático alemán

Aprender matemáticas es como tomar clases de piano o de guitarra, no es algo que se improvisa, sino que hay que comprender y deducir mediante el razonamiento lógico en vez de aprender de memoria.

Tendrás que comprender la resolución de una ecuación, de una inecuación o de una ecuación diferencial, o saber hacer una tabla de variaciones de una función afín o de una función lineal, etc.

Por supuesto, las clases de matemáticas requieren el conocimiento de las tablas de multiplicar y el aprendizaje de los diferentes teoremas, especialmente, relativos a la geometría o a la probabilidad (la famosa ley normal y la ley binomial no son innatas).

No obstante, para analizar una función (estudiar los límites de las funciones, estudiar una función logarítmica o exponencial, hacer  un cálculo integral, etc.), es mejor comprender el lenguaje matemático.

Es como una clase de alemán o de inglés, aprendemos el vocabulario y la gramática, pero también tenemos que comprender cómo se construye una oración.

Desde el colegio, ya podemos visualizar la primera bestia negra de muchos alumnos: la función afín.

Dado que las funciones se encuentran en el plan de estudios y en el currículo de los institutos, hace falta dominarlas cuanto antes mejor. Por supuesto, siempre cabe la posibilidad de completar tu aprendizaje mediante clases particulares.

En este artículo a modo de clase de repaso de matemáticas, podrás leer más sobre qué es una función afín.

Función afín: definición y teorema

Una función afín es una función que, en cualquier valor x definido en ℝ (la escala de los números reales), asocia el número ax + b, siendo «a» y «b» números relativos.

Definición de la función afín Las clases particulares te servirán para aprender a estudiar mejor las ecuaciones simples de f(x).

Representamos esta función mediante la ecuación siguiente: f(x): ax + b o f(x) = ax + b.

El número «b» debe ser diferente a 0. ¿Por qué? Porque si b = 0, entonces tenemos que f(x) = ax y entonces hablamos de una función afín lineal.

Si «a» es igual a cero, entonces decimos que la función f(x) = b es constante (y afín); de hecho, todos los puntos de la misma línea tienen el mismo eje de ordenadas (b) y la curva será paralela al eje de abscisas.

Estas son las dos particulares que tendrás que tener en cuenta con la función afín.

El valor «b» representa, en una representación gráfica, la ordenada en el origen: es el punto donde la curva pasa por el eje de ordenadas (y) en su distancia desde el origen (0).

La variable «a», denominada «coeficiente de dirección», hace referencia al grado de la pendiente de la curva, calculable a partir del eje de abscisas (x) en la gráfica.

Cuanto mayor sea el número «a», mayor será la pendiente de la curva, que podrá ser positiva o negativa.

Para causar una buena impresión en los ejercicios de representación gráfica matemática en la prueba de acceso a la Universidad, podrás escribir que la recta de f(x) mide la tasa de aumento de las ordenadas por unidad de abscisas.

Por lo tanto, una función afín es un conjunto de valores que resuelve la ecuación y = ax + b, en el intervalo dado, y cuya representación gráfica tomará la forma de una recta oblicua, creciente o decreciente.

Entonces, debemos leer que «f» es la función que en el número «x» coincide con el número «ax + b»: «x» es el antecedente, «ax + b», la imagen de «x» en el intervalo. El resultado escrito es f(x) = ax + b.

Por ejemplo si f(x) = 3x, obtendremos una recta, denominada d1, creciente, que corta el eje de ordenadas en el punto 0. Si f(x) = -x, entonces tendremos la recta d2, que será decreciente.

Otra peculiaridad que deberás tener en cuenta es que si f(x) = -5, entonces la línea será constante y cruzará el eje en el punto -5.

Para calcular la imagen de un «x» real, bastará con multiplicar «x» por el coeficiente «a» y sumar la constante «b». Entonces, podremos comenzar a dibujar la recta en la gráfica. Aborda estas nociones durante las clases de matemáticas con tu profesor particular.

¡Descubre en qué consiste la división euclídea!

Hacer la representación gráfica de una función afín

Recuerdo que en el instituto no se me daban demasiado bien las matemáticas, sobre todo, el análisis de funciones. Tardé tiempo, tuve que hacer muchos cursos y ejercicios de matemáticas para finalmente cogerle el truquillo y perfeccionar mi nivel.

 

Cómo representar funciones afines. ¿Cuál es el coeficiente de dirección de las siguientes rectas?

Aprender a representar gráficamente una recta de función afín en un eje de coordenadas requiere que el profesor de matemáticas sea un buen pedagogo y sepa transmitir una metodología eficaz a cada alumno.

Sin embargo, aunque podamos decir que no es difícil, siempre que no se comprende, puede parecer todo un mundo.

Cuando doy clases de piano a mis amigos, que son tan solo principiantes, hay cuestiones que no entienden desde el primer momento, como las diferencias entre los intervalos para diferenciar un acorde mayor de un acorde menor: la noción de tercer menor o el tercer mayor implica emplear el cálculo de intervalos (tonos y semitonos entre las notas). Sin embargo, para mí es algo sencillo…

Para poder representar la recta de una función afín, tomemos como ejemplo la siguiente función:

f(x) = 2x – 3

La función f(x) tiene la forma ax +b, siendo a = 2 y b =  – 3, por lo que se trata de una función afín.

Lo primero que tendremos que hacer para trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 es hallar dos puntos, que los buscaremos al azar a partir del cálculo de x:

Para x = 0, f(x) = – 3 [PUNTO A]

Para x = 2, f(x) = 1 [PUNTO B]

De este modo, obtenemos los puntos A y B cuyas coordenadas X e Y son para A = 0; – 3 y para B = 2; 1.

Sin embargo, podemos agregar un tercer punto para evitar posibles errores y verificar que la hemos trazado bien. Por ejemplo, si le damos a «x» el valor de – 2, obtendremos que f(x) = – 7. De este modo, podremos trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 conectando los puntos entre sí.

Otro método que podemos utilizar es el siguiente:

Comienza por la ordenada – 3, «sube» 4 unidades en el eje y desplaza 2 unidades hacia la derecha en el eje x, o «sube» 6 unidades en el eje de ordenadas y 3 en el de abscisas.

Cuando «x» aumenta en 1, «y» aumenta en dos, de ahí que obtengamos que a = 2.

De este modo, obtenemos las siguientes coordenadas: A (0, – 3), B (2, 1) y C (3, 3), lo que nos permitirá dibujar la recta d1, donde cada punto de la línea cumple con la ecuación y = 2x – 3.

Descubre aquí qué es la geometría.

¿Cómo determinar una función afín?

Determinar una función f es fácil si conocemos los valores de «a» y «b». En nuestro ejemplo f(x) = 2x – 3.

Decimos que f(2) = 1, que f(– 2) = – 7 y que f(1) = – 1.

Para determinar nuestra función, podemos emplear dos métodos: el cálculo y la lectura sobre el eje de coordenadas.

Cómo representar funciones Calcula los valores de «a» y «b» para poder trazar la recta.

Determinar una función a partir de la representación gráfica

Es el método más sencillo, pero a partir de la segunda clase, como verás, la gráfica no siempre vendrá en los ejercicios.

Para determinar gráficamente f(x) = 2x – 3, bastará con ver qué puntos de la recta cortan los ejes x e y. En nuestro caso, encontramos los puntos A (0; – 3), B (2; 1) y C (3;3), de donde deducimos que la recta d1 presenta una ecuación de tipo y =2x – 3.

Determinar una función mediante cálculos

Si no contamos con la representación gráfica o el profesor de matemáticas nos pide que razonemos cuál es la representación, ¿cómo lo podemos hacer?

Pues aquí te dejamos una fórmula mágica.

Cuando f es una función afín no lineal, los valores de «x» que cumplen f(x) no son proporcionales; sin embargo, sí lo son entre los valores de «x».

Para calcular el coeficiente de dirección con dos números x1 y x2 y su representación f: a =. Tenemos que x1 = 0 y x2 = 0, con f(x1) = – 3y y f(x2) = 1.

Al reemplazar las incógnitas, obtenemos a = (– 3, – 1) / (0, – 2) = – 4 / – 2, donde a = 2.

¡Descubre qué es el álgebra!

¿Conoces nuestros cursos de matematicas?

Estudiar el signo de una función afín

Ahora que tenemos la pendiente de la recta y su representación gráfica, ¿cómo estudiamos el signo de f?

Motivación con las funciones afines. Tranquilo, no hace falta recurrir a la fuerza. Persevera y ya verás que lo consigues.

Cualquier persona que haya cursado estudios superiores de estadística, sin tener que ser «matemáticas» puras, habrá estudiado la noción del signo.

Si «a» es positivo, la función f es creciente y si no, será negativa.

Si x1 < x2, entonces ax1 < ax2 y ax1 + b < ax2 + b y f(x1) < f(x2). En este caso, – 2 es inferior a 0 y – 7 es inferior a – 3.

Por lo tanto, nuestra función f(x) = 2x – 3 es creciente. Los valores de f(x) comenzarán así de negativo a positivo cruzando el punto 0 en la ordenada – 3.

La ecuación ax + b = 0 (siendo a ≠ 0) tiene una solución única que es x = ((– b) / a). La recta de la ecuación y = ax + b corta el eje de abscisas en el punto de coordenadas ((– b/a; 0).

Como b = – 3 y a = 2, deducimos que el signo de f es positivo en el punto de coordenadas (2/3; 0).

Para estudiar la variación de f(x), tendrás que conocer la derivación matemática.

Ten en cuenta que f es derivable en todos los ℝ y que para todo x​∈​ℝ, f ‘(x) = 2x – 3 = 2. Por lo que f ‘ (x)  es positiva.

Los signos de f serán: negativos de – ∞ al punto 2/3, y positivo desde el punto 2/3 hacia +∞.

Descubre también nuestra definición de las tablas de multiplicar

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