¿Conoces los números perfectos? En este artículo, hablaremos sobre el origen de los números perfectos, sus teoremas y los distintos tipos.

«Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida» - John Von Neumann

Si formas parte de las personas que nunca han entendido las matemáticas, esta cita debe parecer complicada de admitir...

Las matemáticas han existido desde el principio de los tiempos, si creemos en el descubrimiento del hueso de Ishango (más de 20,000 años), el cual puede ser la primera prueba del conocimiento de los primeros números primos y la multiplicación, pero el tema sigue siendo controvertido.

Si bien las matemáticas siguen siendo un misterio para muchos de nosotros, algunos las ven como una excelente manera de entender y analizar nuestro mundo. En este artículo, descubrirás qué es un número perfecto y para qué sirve (alerta de spoiler: ¡no te permitirá mejorar tu vida diaria!).

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Qué son los números perfectos

Puede que no lo utilices en tu día a día, pero saber qué son los números perfectos es un dato curioso que debes conocer. Por supuesto, si pretendes dedicarte a las matemáticas en cualquiera de sus aplicaciones, los números perfectos son un tema que debes dominar a la perfección.

Una definición precisa de los números perfectos es la siguiente: un número perfecto es un número entero positivo que es además igual a la suma de sus divisores positivos. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

numeros perfectos ejemplos
Existen tres aspectos elementales para determinar cuáles son los números perfectos.

¿Aún no te queda claro qué es un número perfecto?

Si bien la definición parece un poco confusa, hay tres requisitos que se deben cumplir para identificar un número perfecto, estos tres requisitos son.

  • Debe ser un número entero. Es decir no fracciones, decimales etc..
  • Debe ser un número positivo.
  • Los posibles divisores de este número, al ser sumados, dan como resultado el número en sí.

El último punto suele ser un tanto confuso, de modo que quizá un ejemplo te ayude a comprenderlo mejor.

El número 6 es un número perfecto pues es entero y es un número positivo.

Del mismo modo, el número seis puede ser dividido entre 1, 2 y 3. Finalmente, si sumamos estos tres números (1+2+3) el resultado es el seis, convirtiéndose así en el primer número perfecto de todo el universo numérico.

Pero, para entender con más claridad los números perfectos es necesario retomar de dónde surgen y cuál es su finalidad.

La historia de los números perfectos

Los número perfectos no son algo reciente, de hecho, las propiedades exclusivas de los números perfectos fueron esbozadas por Euclides en sus Elementos y estudiados a fondo cuatro siglos después por Nicómaco.

Los pitagóricos por su parte tenían otra concepción del número perfecto y creían que el 10 podía serlo también porque el número de primos entre 1 y 10 (2,3,5,7) era igual al de no primos (4,6,8,9), y este era el número más pequeño que tenía esta interesante propiedad.

La búsqueda de la perfección en los números ha llevado a los matemáticos de toda época a experimentar, analizar y descubrir nuevos aspectos de los números perfectos.

Usos de los números perfectos
«Es algún tipo de lenguaje élfico; no sé leerlo».

Los números perfectos están relacionados con la búsqueda de los números primos de Mersenne. De hecho, la proposición 36 del libro IX de Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n - 1 es primo, entonces 2n-1 (2n - 1) es un número perfecto.

René Descartes confirmó en una carta a Mersenne que cualquier número perfecto par es euclidiano, pero no demostró su teoría. En cambio, el matemático suizo Leonhard Euler fue el primero en dar una demostración a la observación de Descartes. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los números perfectos pares.

Los primeros cuatro números perfectos se conocen desde la antigüedad. Se encuentran en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto número perfecto se menciona en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron encontrados por Cataldi en el siglo XVI y el octavo en 1772 por Euler.

Así, a principios de la década de los 50, conocíamos 12 números perfectos, pero después la búsqueda se aceleró a través de técnicas cada vez más sofisticadas y el uso de ordenadores en la década de los 90 a través del GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

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Pero ¿para qué sirven los números perfectos?

Si los números primos son reconocidos como la base misma de la aritmética por muchos matemáticos, los números perfectos no tienen una utilidad particular, en el sentido de que no se utilizan para resolver una ecuación, una factorización y no entran en el campo de la criptografía.

Antiguamente, eran considerados superiores a todos los demás y algunos vieron un papel místico en ellos: «El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto» - San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)

Son uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos en la actualidad.

Mira otra explicación para entender los números perfectos.

Las conjeturas en relación a los números perfectos son numerosas. Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada. Aquí tienes tres:

  • Los números perfectos de Euclides son todos pares ya que uno de los factores es una potencia de 2. Pero nada prueba, por el momento, que no haya números perfectos impares;
  • Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
  • Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.

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La prueba de los teoremas de los números perfectos

El teorema de Fermat en 1640: es Mn = 2 n - 1; si Mn es primo, entonces n es primo.

Para establecer que cuando 2 n - 1 es primo, n es primo, hay que demostrar la afirmación si n es compuesto, entonces 2 n - 1 también es compuesto.

Es decir, n = ab, con a, b > 1, y la identidad xk - 1 = (x - 1) (x k-1 + x k-2 + · · · + x + 1) en la que x = 2a y k = b.

Entonces 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · +2a + 1), que muestra que 2n -1 = 2ab -1 es compuesto, ya que factoriza como dos factores, cada uno mayor que 1 (porque a > 1).

Teoremas de los números perfectos
La llegada de los ordenadores facilitó la búsqueda de los números primos y perfectos.

El teorema de Euclides: si Mn es primo, entonces 2n-1 Mn es un numero perfecto.

Admitimos la función σ(n) como la suma de todos los divisores del entero positivo n. Un numero perfecto k se caracteriza por σ(k) = 2k.

La función σ tiene la siguiente propiedad: si a y b son dos naturales primos entre ellos, entonces σ(ab) = σ(a)σ(b).

Por otra parte:

  • como Mn es primo, tenemos σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n- 1) = 2n;
  • σ (2n-1) = 1 + 2 + 22+ 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn.

Entonces σ(2n-1 Mn) = σ (2n- 1)σ(Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1 Mn).

Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.

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Los números perfectos en la geometría

Además de teorías, teoremas y aplicaciones criptográficas, los números perfectos se encuentran en todo lo que nos rodea. Y si bien no vas a encontrar números seis dibujados en el cielo, los números perfectos son la explicación perfecta de la geometría en la naturaleza.

A Pitágoras y sus discípulos, les encantaban las conexiones geométricas. Y es allí donde se encuentra la perfección. Porque todos los números perfectos son números hexagonales; los más grandes siempre se pueden disponer en torno a un collar hexagonal. Precisamente el hexágono es la figura que utilizan las abejas para crear sus colmenas y no es por mera coincidencia.

relacion geometrica y numeros perfectos
Los hexágonos nos ayudan a entender los números perfectos.

El hexágono es la forma más eficiente para cubrir un plano sin dejar huecos. Rellenar el plano de la forma más eficaz significa que a igualdad de área con otro “rellenado” el perímetro total será menor.

Al igual que las abejas esto mismo pensaba Pappus de Alejandría sobre los hexágonos, pero tuvieron que pasar muchos siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999 lo que hoy se conoce como el teorema del panal basándose, por supuesto, en los números perfectos.

Cuáles son los números perfectos

Si bien hemos hablado quizá demasiado de estos peculiares números, los números perfectos son raros, de hecho en los primeros 30 millones de números solo podemos encontrar 4 números perfectos.

Entonces, ¿cuáles son los números perfectos del 1 al 100?

Aunque todos los matemáticos están de acuerdo en que existe una infinidad de ellos (nunca se ha demostrado), hoy en día solo conocemos 50 números perfectos, sin siquiera estar seguros de que no haya números intermedios perfectos sin descubrir desde el 47.

El último número perfecto se descubrió en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo número primo muy grande implica el descubrimiento de un nuevo número perfecto y eso es lo que sucedió con el número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Hay solo tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 y 496. Aparentemente, los números perfectos pares terminan en 6 u 8, aunque esto nunca se ha demostrado, pero no de forma alternativa sistemáticamente.

numeros perfectos del 1 al 100
Los números perfectos han fascinado a los entusiastas de las matemáticas.

Los números perfectos pares de la fórmula 2n-1 (2n - 1) son números triangulares (e incluso hexagonales). Por otro lado, todos los números perfectos pares, excepto el primero, son la suma de 2(n-1)/2 primeros cubos impares. Por ejemplo:

  • 28 = 13+ 33,
  • 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
  • 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

Números perfectos lista

Los primeros ocho números perfectos son:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 550.336
  • 589.869.056
  • 438.691.328
  • 2 305 843 008 139 952 128.

Para conocer los siguientes 40, puedes escribir en Google «lista números perfectos».

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Números perfectos impares

Por el momento, no se sabe si hay números perfectos impares. Todos los ejemplos son números pares, pero eso no significa que no haya un número perfecto impar.

Aunque las investigaciones avanzan, ninguna ha podido afirmar o refutar esta hipótesis. Carl Pomerance ha publicado un método heurístico que sugiere la inexistencia de un número perfecto impar.

Un número perfecto impar N debe cumplir las siguientes condiciones (fuente: Wikipedia):

  • N debe tener más de 300 dígitos si existe y ser mayor que 101500
  • N es de la fórmula
    donde:

    • q, p1,..., pkson números primos distintos (Euler),
    • q ≡ α ≡ 1 (módulo 4) (Euler)
    • El factor primo más pequeño de N es menor que (2k + 8)/3,
    • La relación e1≡ e2 ≡... ≡ ek ≡ 1 (módulo 3) no se cumple,
    • qα> 1062 o pj2ej > 1062 por al menos uno j,
    • N es menor que 24k+1
  • si ei≤ 2 para todo i:
    • el divisor primo más pequeño de N es al menos 739,
    • α ≡ 1 (módulo 12) o α ≡ 9 (módulo 12),
  • El divisor primo más grande de N debe ser mayor que 108.
  • El segundo divisor primo más grande de N debe ser mayor que 104y el tercero que 100.
  • N debe tener al menos 101 divisores primos y al menos 10 divisores primos distintos. Si 3 no es un divisor de N, entonces N tiene al menos 12 divisores primos distintos.

Si existen, ningún número perfecto impar es divisible por 105. Además, ningún número de Fermat puede ser perfecto.

¿Conoces el número áureo?

Números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos

Sobre la base de los números perfectos, también hay números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos.

Tranquilo, seguro que tu profesor no te pregunta sobre ellos, pero si quieres saber más, aquí tienes algo de información.

Números multiperfectos e hiperperfectos
¡Los ejercicios de matemáticas ya son bastante complicados sin añadir los números triperfectos!

Los números triperfectos

Un número triperfecto es siempre par. Si hay un impar, es mayor que 1050. La suma de los divisores de un número triperfecto, incluido él mismo, es igual a tres veces el número. Por ejemplo, 120 es un número triperfecto porque 23 * 3 * 5 = 120.

Solo conocemos 6 triperfectos:

  • 120
  • 672
  • 776
  • 818.240
  • 476.304.896
  • 001.180.160.

Los números multiperfectos

La suma de los divisores de un número multiperfecto, incluido él mismo, corresponde a k veces el número.

Los matemáticos han descubierto más de 500 números multiperfectos hasta el orden 8 y creen que conocen todos los multiperfectos de orden 3 a 7:

  • 25x 33 x 5 x 7 es el primer tetraperfecto,
  • 27x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, el primer pentaperfecto,
  • El más grande conocido es 7,3 101345

Los números hiperperfectos

Un número hiperperfecto es tal que n = 1 + k (o(n) - n - 1).

Un número 1-hiperperfecto es un número perfecto.

  • Un número 2- hiperperfecto (HP) tiene la fórmula 2o(n) = 3n + 1:
    • 21, 2 133, 19 521, 176 661...
  • Un número 3-HP tiene la fórmula 3o(n) = 4n + 2:
    • 325 y ningún otro hasta n = 1 000 000
  • 4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625
  • No hay ningún 5-HP conocido
  • 6- HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.

Saber los números perfectos, triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos no te ayudará a hacer los ejercicios de tus clases de matemáticas en secundaria, así que mejor céntrate en las fracciones, la división euclidiana, los logaritmos o el razonamiento en geometría.

Pero si continúas con las matemáticas, quién sabe, tal vez los números perfectos se conviertan en un tema de investigación por tu parte...

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Valeria Superprof

Superprofe, comunicóloga y apasionada del estilo de vida.