«Todo número iluminado tiene su sombra dorada» - Nabil Alami

De seguro has oído alguna vez hablar de la proporción áurea, término antiquísimo que se masificó con Leonardo da Vinci y su Hombre de Vitruvio y que hoy nuevamente está popularizándose, inesperadamente quizás, gracias a las redes sociales y los famosos "filtros".

La proporción áurea o número áureo encierra un sin fin de misterios, todos vinculados a la Matemática.

Una infinidad de alumnos toman clases particulares, muchos de ellos de matemáticas. Aunque se suele considerar una asignatura difícil, las matemáticas pueden ser divertidas y contener misterios fascinantes. Vamos a hablar de uno de ellos: el número áureo.

En este artículo te contaremos qué es el número áureo, cómo se utiliza el número áureo en geometría, el número áureo en aritmética y qué es la omnipresencia del número áureo.

Además resolveremos otras dudas frecuentes: ¿cómo saber cuál es mi número áureo? y¿cómo se utiliza el número áureo?

Comencemos

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¿Qué es el número áureo?

Algo que es de ayuda al momento de comprender conceptos, es comenzar por la definición técnica. Pasemos a revisarla:

"El número áureo o razón áurea es un número irracional que representa la igualdad entre la proporción de dos segmentos de diferente longitud y el cociente de la suma de ellos y el segmento con más longitud".

construccion rectangulo aureo
El hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci es un ejemplo clásico de la proporción áurea en el cuerpo humano

Pero, ¿qué quiere decir esto?

El número áureo tiene una gran cantidad de denominaciones: también es llamado razón dorada, proporción áurea, proporción divina, número de oro, número de Dios, razón extrema y media,​ razón áurea, media áurea y divina proporción.

Fuera de todas estas definiciones, el número áureo es una proporción definida como el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b).

La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b: (a + b)/a = a/b.

También es designado por la letra griega φ (phi). Es un número irracional, única solución de la ecuación x2 = x + 1. Su valor es alrededor de 1,6180339887.

Pero bueno, es muy probable que esta definición no te diga mucho, ya que está explicada en un formato de "matemática dura". La matemática también puede ser agradable, accesible e interesante, vas a ver.

Como vimos, el número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Este número fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza.

proporcion aurea
La proporción áurea sin duda está presente en la naturaleza

En nuestra cultura, la definición que hemos aprendido de belleza y, sobre todo, armonía, está muy ligada al número o proporción áurea. Por lo general, lo que consideramos "bello", es algo proporcionado, armónico: la simetría.

Es por ello que las obras de arte, las construcciones arquitectónicas y el diseño en general, tienden a buscar la proporción áurea. Por ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci es considerado un ideal de belleza, y está proporcionado, intencional y explícitamente, según el número áureo.

En las personas también se ha aplicado el número áureo: se dice que mientras más proporcionado es un rostro, mientras más se acerca al número áureo, más se acerca también al ideal de belleza.

Como explica el estudioso Miguel Ángel Sabadell en una entrevista, matemáticamente hablando, podemos definir el número áureo como:

"Aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Así, si el 4 fuera el número áureo, para calcular su cuadrado no haría falta hacer la operación de 4 por 4, que sale 16, sino que simplemente bastaría con sumarle 1".

Lo anterior se debe a que, en realidad, existen dos números áureos: uno positivo (1,618033...) y otro negativo (-1,618033...), pero es el primero el que se ha llevado todas las luces, toda la atención.

Si nos ponemos a ahondar en porqué el número áureo es llamado divino, es de ayuda citar la famosa frase del monje del siglo XV, Luca Pacioli, quien llamó al número áureo; La Divina Proporción y lo definió como:

"Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos".

¿Cuál es la historia del número áureo?

pentagono regular
Del número áureo se habla desde tiempos antiguos

Los orígenes del número áureo

La pirámide de Keops (2600 a.C.) es para muchos científicos el origen de la proporción áurea.

El número áureo es muy antiguo y se usó inicialmente en geometría, probablemente por los pitagóricos.

Los números de Fibonacci también los encontramos en el número de espirales a la izquierda y a la derecha que podemos contar en las semillas de los girasoles y en las piñas de los pinos; en el número de pétalos de las flores (3 el iris; 5 o bien 8 en algunos ranúnculos; las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 ó 85...)

numero irracional
Los números de Fibonacci también los encontramos en el número de pétalos de las flores (las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 ó 85)

Usaron el número áureo para construir pentágonos usando triángulos isósceles.

En ese momento, no se usa de manera aritmética ya que los pitagóricos piensan que cualquier número es racional, pero el número áureo no lo es.

Pero en realidad el primer texto matemático que hace referencia al número áureo fue escrito por Euclides (300 a.C.), padre de la geometría y uno de los matemáticos fundacionales, quien lo define de la siguiente manera:

«Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor».

Sin embargo, Platón está sin duda en el origen del estudio de la proporción áurea como objeto de estudio por derecho propio. En ese momento, este número no se llama número áureo.

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El número áureo en la Edad Media

El matemático Al-Khawarizmi aporta una nueva perspectiva a la proporción dorada en el siglo VIII, al proponer varios problemas que consisten en dividir una longitud de diez unidades en dos partes. La solución de uno de ellos es el tamaño inicial dividido por el número áureo.

Pero es Fibonacci quien habla de las ecuaciones del matemático persa en Europa, especialmente a través de su famosa sucesión de Fibonacci, sin mostrar un vínculo con la proporción áurea.

La irracionalidad del número áureo la demuestra Campanus a través del descenso infinito que se puede ver en la espiral dorada.

El número áureo durante el Renacimiento

En el Renacimiento, al número áureo se le llama divina proporción y se le atribuye una intervención divina según el libro de Pacioli, ilustrado por el famoso Leonardo da Vinci, quien de hecho acuñó el término "número áureo".

Fue también en esta época cuando la sucesión de Fibonacci se relaciona con el número áureo.

Lo anterior sucede al dividir un término de la sucesión por su término anterior, el resultado se acerca al número áureo. La aproximación es mayor cuando el término es alto.

Dicha relación se descubrió mediante una nota anónima, y el resultado lo encuentra realmente Johannes Kepler, quien quedará fascinado por el número áureo durante toda su vida.

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El nacimiento de un mito en el siglo XIX

Durante este siglo, el número áureo pierde su interés matemático, pero gana cada vez más interés como sistema.

Por ejemplo, el filósofo alemán Adolf Zeising cree que la proporción áurea puede permitir comprender tanto el ámbito científico como al ámbito artístico.

De este modo, y a pesar de un dudoso enfoque científico, las teorías de Zeising gustan, sobre todo en Francia.

Aquí surge la idea que te adelantamos más arriba: gracias al número áureo, sería posible explicar la belleza.

Incluso a lo largo del siglo XX, el número áureo sigue fascinando a matemáticos, artistas y arquitectos.

Lee también nuestro artículo sobre los números perfectos.

El número áureo en geometría

La primera definición de la proporción áurea es geométrica. El teorema es el siguiente:

«Dos longitudes a y b (estrictamente positivas) respetan la proporción áurea si la relación de a sobre b es igual a la relación de a + b sobre a».

razon aurea
La espiral logarítmica es, justamente, la que presenta la concha del nautilo

A la luz de los trabajos de Euclides, surge una nueva definición de la proporción áurea:

«El número áureo es el número real positivo, denotado por φ, igual a la fracción a/b si a y b son dos números en proporción de extrema y media razón».

Esta es la fórmula correspondiente: φ = (1 + √5) / 2.

φ es la solución de una ecuación de segundo grado, que da una tercera definición:

«El número áureo es la única solución de la ecuación x2 - x - 1 = 0».

Gracias a estos cálculos, es posible dibujar una proporción de extrema y media razón usando un compás, una regla y una escuadra:

  • Dibuja un círculo C de radio 1
  • Al final del radio 1, dibuja un segmento de longitud 1/2, perpendicular al radio
  • Dibuja el círculo C’ de radio 1/2 colocando la punta del compás al final del segmento de longitud 1/2 previamente dibujado
  • Dibuja el segmento desde el centro del círculo C hasta el final del círculo C’, pasando por el centro del círculo C’
  • La longitud de este segmento tiene el valor del número áureo

A partir de estos círculos, puedes construir un rectángulo áureo.

También podemos integrar un cuadrado de lado a - b en el rectángulo áureo de lados b × (a - b)

Al añadir un cuarto de círculo en cada cuadrado, obtenemos una espiral, llamada espiral dorada.

La proporción áurea también se puede utilizar para la construcción de pentágonos y pentagramas y también en trigonometría.

Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.

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El número áureo en aritmética

El otro método para definir el número áureo es el método algebraico.

En álgebra, el número áureo se define como la única raíz positiva de una ecuación.

Usando ambos enfoques, algebraico y geométrico, es posible resolver una ecuación de segundo grado. Esto se llama álgebra geométrica.

φ 2 = 1 + φ tiene por solución el número áureo.

La proporción dorada también se puede alcanzar usando la fracción continua en el infinito: 1 + (1/(1 + (1/1))).

La sucesión de Fibonacci también proporciona aproximaciones de la proporción áurea:

Y a la inversa, la fórmula de Binet expresa la sucesión de Fibonacci en función de la proporción dorada.

El número áureo también se utiliza en algunas ecuaciones diofánticas.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

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¿Por qué se habla de la omnipresencia del número áureo?

Como puedes ver, el número áureo está omnipresente en la Matemática, pero también a nuestro alrededor.

En la naturaleza, la proporción dorada está presente a través de varios elementos, aquí te nombramos tan solo algunos:

  • Las escamas de una piña de pino generan espirales logarítmicas que pueden producir la sucesión de Fibonacci
  • Los estambres de un girasol responden al mismo fenómeno; la sucesión de Fibonacci
  • Los cristales de cuarzo se forman en un patrón pentagonal, en el que interviene el número áureo
  • La corteza de una piña induce una espiral ordenada asociada con la proporción áurea

Pero la filotaxis del girasol y la cristalografía de cuarzo no siempre siguen las reglas de la proporción áurea, por lo que es difícil ver un fenómeno místico o divino. Tal vez sea solo una coincidencia...

La cuestión de si el cuerpo humano está vinculado o no a la proporción áurea se ha planteado repetidamente, ya sea de naturaleza científica, artística o estética.

numero aureo geometria naturaleza
También encontramos la proporción áurea y los números de Fibonacci en las piñas de los pinos

Por su parte, Zeising intentó medir el cuerpo humano utilizando solo el número áureo, pero lo descartó rápidamente.

Lo anterior se debe a que las proporciones del cuerpo humano así dibujadas no eran realistas.

Además, las dimensiones del cuerpo humano cambian constantemente: los seres humanos crecen a medida que evolucionan y no necesariamente de manera uniforme.

Sin embargo, la búsqueda de la proporción dorada en el cuerpo humano no se ha abandonado. Hoy en día, los científicos se centran en el cerebro para descubrir un vínculo con la proporción áurea, pero esta teoría sigue siendo controvertida.

Incluso si pensamos en el maquillaje tradicional, nos daremos cuenta de que, junto con impregnar nuevos colores, éste busca dar una forma simétrica al rostro, ya que la simetría es considerada armoniosa y bella.

La proporción dorada no solo fascina a los científicos, sino que está presente en muchos ámbitos como la pintura, especialmente la del Renacimiento.

Recuerda que en ese momento al número áureo se le llamaba divina proporción. Lo encontramos, por ejemplo, en el cuadro de El nacimiento de Venus de Botticelli.

Pero a veces, son interpretaciones tardías y no hay voluntad por parte del artista como lo sugiere el cuadro de San Jerónimo de Leonardo da Vinci en el que encontramos el rectángulo áureo.

El uso de la proporción áurea en muchos edificios antiguos es un tema de controversia.

Lo anterior se debe a que hoy es difícil saber si los constructores eran conscientes en aquella época y en aquel momento a nivel personal del uso de la proporción áurea o si es una sobreinterpretación de los arqueólogos.

En cuanto al uso de la proporción áurea en la arquitectura, existen varios ejemplos. Aquí algunos:

  • El teatro de Epidauro
  • La gran pirámide de Giza
  • La fachada del Partenón según las convenciones
  • Una antigua torre en Modon
  • El gran altar de Pérgamo
  • Una lápida funeraria de Edesa
  • Una tumba en Pella

Por otro lado, más recientemente, el arquitecto Le Corbusier teoriza el uso de la proporción áurea y crea un sistema llamado Modulor. Este sistema utiliza en muchas de sus construcciones, como por ejemplo la Ciudad radiante de Marsella o la Capilla de Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.

También en la música, el número áureo se busca en la armonía y el ritmo. La aproximación más cercana al número áureo es la sexta menor obtenida por dos sonidos cuya frecuencia define una relación de 8/5 = 1,6.

Y podríamos continuar la lista, ya que la presencia del número áureo fascina enormemente y es el tema de teorías más o menos científicas y verificadas.

¿Cómo saber cuál es mi número áureo?

Con la vuelta a la cancha del número áureo que ha traído su reaparición en redes sociales, muchas personas se están preguntando cómo saber cuál es mi número áureo.

Y es que los filtros que existen en redes como Instagram  y que aseguran hacer lucir tu rostro como si fuese completamente proporcional o que incluso te muestran tu rostro marcando las líneas de división áurea que hay en él, han levantado la curiosidad al respecto.

Se dice que la perfección anatómica es la perfección áurea.

Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando Leonardo da Vinci profundizó en la relación entre anatomía y arquitectura, la cual luego expresó en su famoso dibujo de 1487, basado claramente en la descripción del arquitecto Marcus Vitruvius Pollio.

En dicha descripción, el arquitecto Marcus Vitruvius Pollio, señala la siguiente fórmula para conocer nuestro número áureo:

"En el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se tumba boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro".

"Y también puede inscribirse en una figura cuadrada".

Siguiendo esta línea, nos encontraremos con que si dividimos el lado del cuadrado, es decir, la figura del ser humano a lo largo, o contemplando su "altura", por el radio de la circunferencia, comprendida entre la distancia del ombligo a la punta de los dedos, obtendremos el número áureo.

Así, para descubrir si es que somos o no bellamente perfectos y perfectas y conocer nuestro número áureo, sólo debemos coger una regla y seguir las instrucciones de Pollio.

¿Cómo se utiliza el número áureo?

rectangulo aureo
El Coliseo Romano es un ejemplo clásico de la proporción áurea en la arquitectura

Ya vimos que el número áureo está presente en diferentes dimensiones de la vida; se ha dicho que es omnipresente. Por tanto, también es interseccional, abarca diversas materias.

En cada una de las materias en que está presente el número áureo, éste es utilizado de manera diferente.

Es decir, su uso en la arquitectura será diferente de su uso en geometría, en diseño, en música, botánica, biología, en dibujo, estética, fotografía, nuevas tecnologías, por mencionar algunas áreas.

Cabe recodar que el mismo Leonardo da Vinci poco a poco comenzó a obsesionarse con la búsqueda de pautas que relacionaran el número áureo y no sólo la anatomía con la arquitectura, sino además con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza.

Así, buscando proporciones presentes en diversas áreas del mundo que nos rodeaba, muchas personas le llamaron loco, sin embargo, esta idea estaba lejos de ser errónea, pues es preciso mirar a la naturaleza unos minutos para detectar la presencia del número áureo.

En arquitectura, por ejemplo, el número áureo se puede encontrar en trabajos y diseños arquitectónicos construidos en la edad Media, tales como castillos griegos, estructuras coloniales, famosas construcciones romanas.

En éstas últimas encontramos una de las más famosas expresiones de proporción áurea en la arquitectura: el Coliseo romano.

En el famoso Coliseo de Roma, salta a la vista el uso y efecto de la proporción áurea: un diseño de estructuras geométricas, donde se resalta la simetría y la consiguiente armonía, lo que resulta atractivo a la vista.

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Valeria Superprof

Superprofe, comunicóloga y apasionada del estilo de vida.