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¿Qué es la divina proporción en Matemáticas?

Publicado por Valeria Superprof, el 21/09/2019 Blog > Apoyo escolar > Matemáticas > Todo Sobre el Número Áureo en Matemáticas

«Todo número iluminado tiene su sombra dorada» – Nabil Alami

El número áureo, también llamado razón dorada, proporción áurea o proporción divina, es una proporción definida como el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b). La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b: (a + b)/a = a/b.

También es designado por la letra griega φ (phi). Es un número irracional, única solución de la ecuación x2 = x + 1. Su valor es alrededor de 1,6180339887.

Una infinidad de alumnos toman clases particulares, muchos de ellos de matemáticas. Aunque se suele considerar una asignatura difícil, las Matemáticas pueden ser divertidas y contener misterios fascinantes. Vamos a hablar de uno de ellos: el número áureo.

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La historia del número áureo

La historia del número áureo La construcción de las pirámides implica el uso de la razón dorada.

Los orígenes del número áureo

La pirámide de Keops (2600 a.C.) es para muchos científicos el origen de la proporción áurea.

El número áureo es muy antiguo y se usó inicialmente en geometría, probablemente por los pitagóricos. Lo usaron para construir pentágonos usando triángulos isósceles. En ese momento, no se usa de manera aritmética ya que los pitagóricos piensan que cualquier número es racional, pero el número áureo no lo es.

Pero en realidad el primer texto matemático que hace referencia al número áureo fue escrito por Euclides (300 a.C.), que lo define de la siguiente manera: «Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor».

Sin embargo, Platón está sin duda en el origen del estudio de la proporción áurea como objeto de estudio por derecho propio. En ese momento, este número no se llama número áureo.

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El número áureo en la Edad Media

El matemático Al-Khawarizmi aporta una nueva perspectiva a la proporción dorada en el siglo VIII al proponer varios problemas que consisten en dividir una longitud de diez unidades en dos partes. La solución de uno de ellos es el tamaño inicial dividido por el número áureo.

Pero es Fibonacci quien habla de las ecuaciones del matemático persa en Europa, especialmente a través de su famosa sucesión de Fibonacci, sin mostrar un vínculo con la proporción áurea.

La irracionalidad del número áureo la demuestra Campanus a través del descenso infinito que se puede ver en la espiral dorada.

El número áureo durante el Renacimiento

En el Renacimiento, al número áureo se le llama divina proporción y se le atribuye una intervención divina según el libro de Pacioli, ilustrado por el famoso Leonardo da Vinci.

Fue también en esta época cuando la sucesión de Fibonacci se relaciona con el número áureo. Al dividir un término de la sucesión por su término anterior, el resultado se acerca al número áureo. La aproximación es mayor cuando el término es alto.

Esta relación se descubrió mediante una nota anónima, y el resultado lo encuentra realmente Johannes Kepler, quien quedará fascinado por el número áureo durante toda su vida.

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El nacimiento de un mito en el siglo XIX

Durante este siglo, el número pierde su interés matemático, pero gana cada vez más interés como sistema.

El filósofo alemán Adolf Zeising cree que la proporción áurea puede permitir comprender tanto el ámbito científico como el artístico. A pesar de un dudoso enfoque científico, las teorías de Zeising gustan, sobre todo en Francia. Gracias al número áureo, sería posible explicar la belleza.

Incluso a lo largo del siglo XX, el número áureo sigue fascinando a matemáticos, artistas y arquitectos.

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El número áureo en geometría

El número áureo en geometría Podemos dibujar una proporción de extrema y media razón.

La primera definición de la proporción áurea es geométrica. El teorema es el siguiente: «Dos longitudes a y b (estrictamente positivas) respetan la proporción áurea si la relación de a sobre b es igual a la relación de a + b sobre a».

A la luz de los trabajos de Euclides, surge una nueva definición de la proporción áurea:

«El número áureo es el número real positivo, denotado por φ, igual a la fracción a/b si a y b son dos números en proporción de extrema y media razón».

Esta es la fórmula correspondiente: φ = (1 + √5) / 2.

φ es la solución de una ecuación de segundo grado, que da una tercera definición: «El número áureo es la única solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0».

Gracias a estos cálculos, es posible dibujar una proporción de extrema y media razón usando un compás, una regla y una escuadra:

  • Dibuja un círculo C de radio 1,
  • Al final del radio 1, dibuja un segmento de longitud 1/2, perpendicular al radio,
  • Dibuja el círculo C’ de radio 1/2 colocando la punta del compás al final del segmento de longitud 1/2 previamente dibujado,
  • Dibuja el segmento desde el centro del círculo C hasta el final del círculo C’, pasando por el centro del círculo C’,
  • La longitud de este segmento tiene el valor del número áureo.

A partir de estos círculos, puedes construir un rectángulo áureo.

También podemos integrar un cuadrado de lado a – b en el rectángulo áureo de lados b × (a – b). Al añadir un cuarto de círculo en cada cuadrado, obtenemos una espiral, llamada espiral dorada.

La proporción áurea también se puede utilizar para la construcción de pentágonos y pentagramas y también en trigonometría.

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El número áureo en aritmética

El número áureo en aritmética Cuando logras demostrar el vínculo entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo.

El otro método para definir el número áureo es algebraico. En álgebra, el número áureo se define como la única raíz positiva de una ecuación.

Usando ambos enfoques, algebraico y geométrico, es posible resolver una ecuación de segundo grado. Esto se llama álgebra geométrica. φ 2 = 1 + φ tiene por solución el número áureo.

La proporción dorada también se puede alcanzar usando la fracción continua en el infinito: 1 + (1/(1 + (1/1))).

La sucesión de Fibonacci también proporciona aproximaciones de la proporción áurea:

Y a la inversa, la fórmula de Binet expresa la sucesión de Fibonacci en función de la proporción dorada.

El número áureo también se utiliza en algunas ecuaciones diofánticas.

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La omnipresencia del número áureo

Como puedes ver, el número áureo está omnipresente en las Matemáticas, pero también a nuestro alrededor. En la naturaleza, la proporción dorada está presente a través de varios elementos:

  • Las escamas de una piña de pino generan espirales logarítmicas que pueden producir la sucesión de Fibonacci;
  • Los estambres de un girasol responden al mismo fenómeno;
  • Los cristales de cuarzo se forman en un patrón pentagonal, en el que interviene el número áureo;
  • La corteza de una piña induce una espiral ordenada asociada con la proporción áurea.

Pero la filotaxis del girasol y la cristalografía de cuarzo no siempre siguen las reglas de la proporción áurea, por lo que es difícil ver un fenómeno místico o divino. Tal vez sea solo una coincidencia…

La omnipresencia del número áureo También en fotografía, el número dorado permitiría tomar una imagen perfecta.

La cuestión de si el cuerpo humano está vinculado o no a la proporción áurea se ha planteado repetidamente, ya sea de naturaleza científica, artística o estética.

Zeising intentó medir el cuerpo humano utilizando solo el número áureo, pero lo descartó rápidamente. Las proporciones del cuerpo humano así dibujadas no eran realistas. Además, las dimensiones del cuerpo humano cambian constantemente. Los seres humanos crecen a medida que evolucionan y no necesariamente de manera uniforme.

Sin embargo, la búsqueda de la proporción dorada en el cuerpo humano no se ha abandonado. Hoy en día, los científicos se centran en el cerebro para descubrir un vínculo con la proporción áurea, pero esta teoría sigue siendo controvertida.

La proporción dorada no solo fascina a los científicos, sino que está presente en muchos ámbitos como la pintura, especialmente la del Renacimiento. Recuerda que en ese momento al número áureo se le llamaba divina proporción. Lo encontramos en el cuadro de El nacimiento de Venus de Botticelli.

Pero a veces, son interpretaciones tardías y no hay voluntad por parte del artista como lo sugiere el cuadro de San Jerónimo de Leonardo da Vinci en el que encontramos el rectángulo áureo.

El uso de la proporción áurea en muchos edificios antiguos es un tema de controversia. Es difícil saber si los constructores eran conscientes del uso de la proporción áurea o si es una sobreinterpretación de los arqueólogos.

Hay varios ejemplos:

  • El teatrode Epidauro,
  • La gran pirámide de Giza,
  • La fachada del Partenón según las convenciones,
  • Una antigua torre en Modon,
  • El gran altar de Pérgamo,
  • Una lápidafuneraria de Edesa,
  • Una tumba en Pella.

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Por otro lado, más recientemente, el arquitecto Le Corbusier teoriza el uso de la proporción áurea y crea un sistema llamado Modulor que utiliza en muchas de sus construcciones como la Ciudad radiante de Marsella o la Capilla de Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.

También en la música, el número áureo se busca en la armonía y el ritmo. La aproximación más cercana al número áureo es la sexta menor obtenida por dos sonidos cuya frecuencia define una relación de 8/5 = 1,6.

Y podríamos continuar la lista, ya que la presencia del número áureo fascina enormemente y es el tema de teorías más o menos científicas y verificadas.

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