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Matemáticas y fenómenos contra-intuitivos

Blog > Apoyo escolar > Mates > Las Paradojas Matemáticas Más Útiles y Conocidas

Con todas esas cifras árabes y letras raras… ¡es normal que nos perdamos! Las matemáticas son el común denominador (en términos de aritmética básica) de los cursos escolares. Dicho esto, seguramente hayáis sentido envidia por alguno de esos genios para los que las ciencias no son más que un juego.

Para saber todo sobre las matemáticas, intentemos seguir sus pasos, descubrir las paradojas matemáticas y viajar por el mundo de la aritmética, la trigonometría y la probabilidad. Veréis cómo os conquistan y, en poco tiempo, vosotros mismos podréis dar clases de matemáticas.

Descubre también por qué hay tanta fascinación en torno a las matemáticas y las ciencias.

Intento de definición general

No hace falta salir de un centro de investigación o ser un estudiante de matrícula para entender en qué consiste una paradoja. El término paradoja designa un «hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica» (DRAE). En el estudio de estos fenómenos  radica la esencia de las matemáticas.

Resulta evidente que las ciencias físicas esconden en sus anales muchas sorpresas que se podrían resolver respondiendo a esta definición. Pero todos los profesores (y todos los alumnos) saben que hay unas paradojas más conocidas que otras, pero también más interesantes… o más útiles. Algunas proceden de la física y la química, otras de la tecnología, etc.

Dejemos de lado el producto escalar y otras ecuaciones diferenciales y sonriamos un poquito. Más allá del cálculo, hay un proverbio chino que dice: «Tres sonrisas al día y adiós a la medicina». A esto debemos añadirle: «y las buenas notas estarán a la vuelta de la esquina».

La multiplicación exponencial de problemas de matemáticas vendrá de la división de vuestros errores en la vida real. Sí, os lo aseguro.

Las paradojas matemáticas fascinan por completo a los enamorados de estas ciencias. Son un tema por lo menos tan fascinante como el número Pi.

Las falsas paradojas

La paradoja de Aquiles y la tortuga

No hay nada en el nombre de esta paradoja que no nos sorprenda. Para entenderla, debemos remitirnos a la fábula de la liebre y la tortuga. Si la veis venir es porque vuestros conocimientos os llevan hacia las Olimpiadas dirigidas por el Ministerio de Educación y la Real Sociedad Matemática Española.

Volvamos con las tortugas… Hablamos de un antiguo sabio llamado Zénon d’Élee (490-430 a.d.C). Tras dejar una ventaja de cien metros a una tortuga, gracias a sus conocimientos teóricos, Zenón afirmó que Aquiles jamás la alcanzaría, ya que la tortuga seguiría avanzando para ganar. Es una idea que probablemente no os plantearíamos en Selectividad.

Clases de matemáticas

Cifras, números y teoremas… ¡un auténtico rompecabezas!

Seguramente esta afirmación vaya en contra de vuestra lógica, pero hemos tenido que esperar hasta el desarrollo de la matemática moderna para refutarla definitivamente, gracias a la serie, la resolución de la ecuación, la equivalencia gráfica y lo infinitesimal. El enigma del dólar perdido parece seguir el mismo tipo de razonamiento falaz, pero forma parte de los ejercicios de matemáticas que no pasan de moda. Eso sí, si queréis poner a prueba vuestra lógica: ¡es lo más!

Las clases particulares de matematicas son una buena alternativa a la academia matematicas más cercana.

La paradoja del cuadrado perdido

No, no es un rompecabezas chino. Seguimos un breve curso de geometría de lo absurdo. Se trata de una simple formulación matemática verosímil que se basa únicamente en una ilusión visual y que trae, por tanto, una conclusión altamente improbable.

Esta paradoja consiste en reconstruir, sobre un tablero de tangram, un triángulo con otras formas geométricas. Existen muchas soluciones posibles, una de las cuales hace que falte un pequeño cuadrado en el centro del triángulo. Sin embargo, es imposible perder una parte de la superficie.

La solución: esta parte que falta no es más que el producto de la ligera deformación del triángulo, con bordes redondeados. Por tanto, es un falso triangulo que hay que redistribuir. ¡No hace falta ser experto en matemáticas para darse cuenta!

La paradoja de Banach-Tarski

Este teorema de geometría pura fue demostrado en 1924, basándose en el axioma de elección de la construcción de conjuntos que no se pueden medir. Se resume, grosso-modo, en lo siguiente: podemos cortar una esfera en un número (limitado) de fragmentos, recolocarlos para formar dos bolas idénticas a la primera, para lo que solamente hay que mover dos piezas.

Estaréis de acuerdo conmigo en que es un planteamiento, cuanto menos, curioso. Efectivamente, algo así es imposible si estos fragmentos de esfera no se pueden medir (introducir un volumen, por ejemplo, implicaría de facto una contradicción). La metodología requiere algunas precisiones…

Pero eso no es todo: ahora os dejo que lo intentéis vosotros mismos.

La geometría plana de Neumann

En 1929, John von Neumann volvió locos a muchos de sus coetáneos. También partió del axioma de elección para descomponer un cuadrado en un número determinado (limitado) de conjuntos de puntos. A continuación, gracias a las trasformaciones reducidas que conservaban sus superficies, obtuvo… no dos esferas, sino dos cuadrados.

Einstein y las matemáticas Albert Einstein, uno de los grandes referentes de las matemáticas.

El problema inferido de esta paradoja permitió a Laczkovich, en el año 2000, explicar esta descomposición del interior de un cuadrado (conjunto delimitado equidescomponible). ¡Todo un reto para la materia gris!

La paradoja del barbero

Les encanta a los profesores de colegio e instituto, ya que les permite explicar ciertas cosas a sus alumnos. Sin embargo, Beth E.W., gran poeta de la lógica, nos pide que no le demos demasiada importancia a esta antinomia aparente.

Imaginad un colectivo cuyo poder central obligase a un único barbero a afeitar a todos los hombres (¡sólo a ellos!), que no se pueden afeitar por su cuenta. Este barbero, también ciudadano, está en una encrucijada: por un lado, va contra la ley que se afeite solo porque está prohibido que los hombres se afeiten a sí mismos. Por otra parte, si no se afeita, cometerá un error, porque debe encargarse de afeitar a todos los que no lo estén.

Es una buena forma de recalcar la posibilidad de que alguien promulgue una norma absurda, ¿no creéis? La antinomia de Russel, que aparentemente forma parte de la teoría de los conjuntos (o de las clases) es ligeramente diferente, y se basa en el plano teórico: «En 1905, Bertrand Russel demostró que el enunciado de “conjunto de todos los conjuntos que no forman parte de sí mismos” era contradictorio».

¿Y si la tierra se diese la vuelta como un guante?

Rumbo a la topología diferencial y a la lineal. En 1958, S. Smale formulo la «evasión (o retorno) de la esfera». Una ley que podrá divertir a los más aficionados a las matemáticas de los institutos, pero no tanto a los pequeños estudiantes de primaria.

Mediante animaciones informáticas, hemos podido demostrar la posibilidad de pasar una bola del interior al exterior en nuestro espacio tridimensional.

Tenemos motivos para buscar pelea con Raoul Bott, por esta homotopía que nunca nos encontraremos en nuestro día a día. De todos modos, ¿quién sabe si se convertirá en un futuro en toda una revolución técnica?

¿Quieres saber también cuáles son los mayores misterios de las matemáticas?

La contraintuición del día a día

La paradoja de Simpson

Los dibujitos amarillos no tienen nada que ver con la abstracción racional… El estadista Edward Simpson formuló esta paradoja en 1951. Esta está relacionada con series de datos aparentemente contradictorias, pero simplemente porque aplican criterios diferentes. Ejemplo: contra cierta enfermedad, la receta A será más eficaz que la receta B. ¿Se entiende la causa? No, porque cuando dicha enfermedad es leve, el tratamiento B es más eficaz que el tratamiento A, cuyos resultados son sin embargo mejores en caso de enfermedad grave.

Teoremas matemáticos Números relativos, polinomios, álgebra… las matemáticas nos acompañan durante gran parte de nuestros estudios.

Esta paradoja tan solo es posible si hay una variable que influya en el resultado, y si la muestra estadísticamente estudiada no se distribuye de manera homogénea. Es una invitación a tener todas las cartas en la mano antes de tomar una decisión.

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La metodología electoral de Condorcet

Proviene de un matemático revolucionario homónimo. Se trata de una exigencia aplicada al sistema electoral, que quiere que si debe haber un vencedor legítimo por un voto, este sea únicamente quien, frente al resto de opositores, sea preferido por vía electoral. Por oposición, es una ilustración de que un voto termina dando un resultado diferente o contrario a las voluntades reales del cuerpo electoral. En resumen, según la forma en la que se desarrolle la votación, el resultado será uno u otro.

Una entrada de este principio en la Constitución haría que fuese imposible el funcionamiento de las instituciones, pero ¿merecería la pena intentarlo?

Los científicos han utilizado las matemáticas para determinar el papel protagonista de Juego de Tronos. ¿Créeis que han usado a Condorcet y su metodología electoral?

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Rogers, ¡qué fenómeno!

La formulación de este proceso matemático es de lo más simple. En presencia de dos conjuntos, al desplazar un elemento de uno a otro, puede ocurrir que la media de cada uno de estos dos grupos… ¡aumente!

Pero se deben cumplir dos condiciones: el número desplazado debe ser inferior a la media de su conjunto original y superior a la de su conjunto de destino.

Como veis, no es demasiado complicado. Estemos preparando Selectividad o estudiando ingeniería, este caso límite está a nuestro alcance.

Profesores de matemáticas Los profesores particulares de matemáticas nos pueden enseñar a entender todos los entresijos de esta disciplina.

En definitiva, entre los problemas falsos y los verdaderos, tenemos en qué entretenernos. Ahora podéis encandilar por completo a vuestro profe de matemáticas o a vuestros compañeros de clase.

¿Sabías que unos matemáticos americanos utilizaron las matemáticas para saber quién es el protagonista de Juego de Tronos?

 

 

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