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Factorizar y entender mejor los números complejos

Publicado por Gaspard, el 17/11/2017 Blog > Apoyo escolar > Matemáticas > Técnicas para Resolver Ecuaciones Matemáticas

Las matemáticas a menudo representan una de las asignaturas más complejas y temidas por muchos estudiantes… y también por algunos adultos.

Sin embargo, aunque no sea una de las asignaturas más queridas, forma parte de los conocimientos fundamentales que tenemos que adquirir si queremos conseguir el graduado escolar.

Hasta que no acabes Bachillerato no podrás librarte de los famosos problemas de matemáticas.

En un futuro, cuando llegues a la Universidad, tus conocimientos de matemáticas te permitirán adoptar un espíritu riguroso y de síntesis que te ayudará a mejorar incluso la eficacia de tu memoria.

Desde primaria, las matemáticas forman parte de los conocimientos fundamentales que todo alumno tiene que adquirir.

Mientras que famosos youtubers y matemáticos como Mickaël Launey publican una nueva entrada titulada “La gran novela de las matemáticas” para reencontrarse con esta asignatura; nosotros, creemos que ha llegado el momento de repasar una de las bases de las matemáticas: las ecuaciones.

Con una calculadora y un poco de motivación, al final de este artículo serás capaz de resolver una ecuación sin problemas. Esto te ayudará, entre otras cosas, a afrontar las matemáticas con más tranquilidad.

Si deseas tomar clases de matematicas basicas para adultos, no dudes en utilizar Superprof.es encontrar docentes cerca de ti.

¿Qué es una ecuación?

En matemáticas, como ocurre en otras asignaturas, hay que ser capaz de entender el sentido que tienen los términos que utilizamos. Seguro que tu profesor ya te lo ha dicho; ser capaz de retener la definición con el vocabulario matemático empleado es esencial si queremos progresar en matemáticas.

Por lo que, antes de empezar a hacer una ecuación de matemáticas, tienes que conocer la definición.

Según la RAE, una ecuación es «Igualdad que contiene una o más incógnitas».
En esta primera definición, más bien generalista, el término de incógnita aparece. Este elemento no desaparecerá hasta la resolución de la ecuación.

Desde un enfoque más matemático, el CNTRL (centro nacional de recursos textuales y léxicos) define una ecuación como «una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que contiene una o varias incógnitas y puede comprobarse dando uno o varios valores a estas incógnitas»

Lo primero que hay que hacer para poder aprobar matemáticas es entender y aprender las palabras específicas.

Sin embargo, si esta definición tampoco te convence, aquí te presentamos otra definición obtenida de una clase de matemáticas de 4º de ESO que dice: «una ecuación es una igualdad que contiene una variable (normalmente denominada X), que sirve para resolver problemas.»

Estos son los elementos que tienes que entender para resolver la ecuación:

  • Se trata de una igualdad entre dos expresiones algebraicas
  • hay que despejar una o varias incógnitas
  • una de las variables se denomina «x»
  • son útiles para la resolución de problemas

A la hora de resolver (y factorizar) una ecuación nos da lo mismo que se trate de una ecuación de segundo grado, de una ecuación con una sola incógnita o de una ecuación diferencial.

Factores a tener en cuenta en la resolución de ecuaciones

Para conseguir resolver una ecuación son varios los factores a tener en cuenta relativos al aprendizaje de las matemáticas y al famoso «espíritu matemático» que tenemos que ir adquiriendo a lo largo de nuestra etapa escolar.

Espíritu matemático

Esa aprehensión que sienten tantos y tantos estudiantes hacia esta asignatura está motivada en parte, a que son muchos los que no ven la utilidad de las matemáticas en la vida real.

Aunque no nos demos cuenta, las matemáticas forman parte de nuestro día a día.

Ya sea cocinando, comprando una casa o en ese momento en el que hacemos la compra o las cuentas; las matemáticas están omnipresentes en nuestras vidas.

Tanto tu profesor de matemáticas del colegio como otro profesor particular, te proporcionarán todas las competencias necesarias que te servirán cada día en esta asignatura.

Propias del espíritu matemático, éstas son indispensables para, entre otras cosas, resolver ecuaciones sin cometer errores.

  1. La rigurosidad.

Cuando estamos haciendo matemáticas hay que ser rigurosos y aún más cuando se trata de las ecuaciones. Cuando estemos ante un ejercicio de matemáticas o frente a un examen, hay que ser precisos y razonar con lógica.

  1. La memoria

Las matemáticas te van a hacer trabajar tu memoria. Trabajando regularmente, serás capaz de relacionar los conceptos de tus clases de matemáticas y aplicarlos para así, conseguir resolver la ecuación propuesta. De esta forma, también serás capaz de acordarte de otras ecuaciones ya resueltas que se parezcan a la que tengas que resolver.

  1. La organización

Para resolver una ecuación hay que ir paso a paso. La organización, dentro del marco del entorno de trabajo, te permitirá afrontar el ejercicio con cierta calma. No tienes que precipitarte.

¿Cuándo se aprenden las ecuaciones?

En primaria, es evidente que aprendemos a contar, pero también empezamos a familiarizarnos con el cálculo mental.

Empezamos a sumar, multiplicar, dividir.

Todos estos conocimientos básicos serán los que irán cimentando tus bases matematicas primaria.

En el instituto, ¡las ecuaciones empiezan a complicarse!

Cuando pasas a secundaria, empiezan a ir apareciendo las ecuaciones progresivamente e incluso las tablas de variación de una función.

Poco a poco vamos aprendiendo a resolver las ecuaciones a través de las famosas «expresiones literales» que son las fórmulas matemáticas en las que aparecen las letras.

Este es un ejemplo de una ecuación propuesta en 1ºESO: 7x + 5 = 3x – 15. Y a través de esta ecuación hay que despejar la incógnita (x).

En 3º y 4º de la ESO van apareciendo las fracciones y los números negativos para preparar así a los alumnos a la consecución del graduado escolar.

En un examen de este nivel las ecuaciones pueden adoptar esta forma:

(8x-6)/9-(-10x-6)/6 = (x-5)/4

Conforme vas dejando atrás la secundaria, el nivel de matemáticas va aumentando y con ello la complejidad de las ecuaciones. Sobre todo para aquellos que se decanten por la opción más científica o tecnológica.

Resolver una ecuación de primer grado

Las ecuaciones de primer grado se consideran las ecuaciones más fáciles de resolver. Así es, encontrar la solución de una ecuación de primer grado solo implica cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división.

Si tienes que resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, vuestro objetivo es sencillo: solo tienes que encontrar el valor de x (la famosa incógnita).

¿Te parecen fáciles este tipo de ecuaciones?

En esta simple ecuación también hay que ir paso a paso:

  • aislar la incógnita
  • agrupar los otros elementos de la ecuación
  • dividir
  • concluir con la solución, normalmente denominada S

Concretamente, para esta ecuación (3x-5=x+2) tu cálculo tendrá que ser parecido a este:

  • 3x+x= 5+2 (aquí se aísla la incógnita)
  • 4x = 7 (se reagrupan los otros elementos de la ecuación)
  • x=  7/4 (se divide entre 4)
  • S = 7/4

Siguiendo estos pasos por qué no te animas a resolver la ecuación de primer grado más famosa de la historia de las matemáticas: el epitafio (en la tumba) del matemático Diophante de Alejandría. Esta ecuación data del siglo III y te permitirá conocer su edad.

Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.

Encontrar una solución para una ecuación con producto igual a cero

Esta ecuación es muy común. ¿No sabes de qué estamos hablando? Un ejemplo sería: (ax + b)(cx+d) = 0

siempre es la incógnita; a, b, c y d son los valores fijos que nos proporciona el enunciado del ejercicio. Si lo entiendes mejor con números, esta ecuación podría ser 2+2.

¿Y por qué igualar la ecuación a cero? Porque un producto es igual a cero únicamente si uno de sus multiplicandos, o ambos, son igual a cero.

Así pues, ¡habrá que resolver tantas ecuaciones como factores de la ecuación!

Esta ecuación puede ser útil para calcular el área de un triángulo rectángulo.

Nunca sobra repetirlo: la mejor forma de aprender es practicar y hacer ejercicios que sean corregidos por un profesor. 

Aquí puedes ver un ejemplo con la solución:

(2x + 4) × (2x – 6) = 0

Los dos factores corresponden a los dos grupos de ecuaciones entre paréntesis. Así pues, habrá que resolver los dos.

Las soluciones de la ecuación (2x + 4)(2x – 6) = 0 son:

  • 2x + 4 = 0
  • 2x = -4
  • x = -4/2 = -2.

O

  • 2– 6 = 0
  • 2x = 6
  • x= 6/2 = 3

Las soluciones de la ecuación (2x + 4)(2x – 6) = 0 son -2 y 3. 

Resolver una ecuación de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado también se las conoce como ecuaciones cuadráticas.

Este tipo de ecuaciones siguen la siguiente forma: (ax+b) (cx+d) =0 en las que la X es siempre la incógnita y a,b,c y d son los números fijos que te da el ejercicio.

La clave para resolver con éxito las ecuaciones es aprender la materia y practicar regularmente.

Por lo que tendrás que resolver tantas ecuaciones como factores haya.

No me cansaré de repetirlo nunca: la mejor forma de aprender es practicando.

Este es un ejemplo de ecuación de segundo grado con su solución.

(3x + 4) × (2x – 5) = 0

Los dos factores corresponden a los dos grupos de ecuaciones que hay entre paréntesis. Por lo que hay que resolver los dos.

Primera:

  • 3x+ 4 = 0
  • 3x = -4
  • x = -4/3

Segunda:

  • 2x-5 = 0
  • 2x= 5
  • x= 5/2

Esta ecuación tiene entonces dos soluciones: -4/3 et 5/2.

Las ecuaciones polinómicas racionales

Una ecuación polinómica racional tiene como norma un teorema: un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no lo es.

Estás ante una ecuación polinómica racional si tu ejercicio tiene la siguiente forma: f(x) / g(x) = 0.

Para resolver una ecuación polinómica racional tienes que:

  • excluir los valores prohibidos, es decir, los que anulan al denominador
  • reducirlo todo al mismo denominador
  • igualar a 0
  • resolver la ecuación
  • comprobar que los valores obtenido no sean los valores prohibidos

Este es un ejemplo de cómo resolver una ecuación polinómica racionalx / x+1 = x-1 / x+2

x (x + 2) = (x − 1)
(x + 1) x (x + 2) − (x − 1) (x + 1) = 0
x² + 2x – (x² – 1)  = 0
x² + 2x – x² + 1 = 0
2x + 1 = 0
x =   -(1/2)

Como no es uno de los valores prohibidos, podemos concluir que la S = -(1/2).

Resolver una ecuación con dos incógnitas

¡Las matemáticas te serán útiles durante toda la vida!

La forma de abordar este tipo de ecuaciones es diferente.

Ya no se trata de determinar el valor de una incógnita, sino que habrá que obtener el valor de una incógnita a través de su relación con las demás (método de sustitución), o intentar determinar x y después determinar y (método de reducción).

En otras palabras: con dos incógnitas x e y, buscamos cuantas x valen una y, o al revés. Precisamente, ese es el procedimiento del método de sustitución.

Vamos a explicar estos dos métodos a continuación.

Método de reducción

Sea cual sea el método, se necesitan dos ecuaciones para determinar el valor de dos incógnitas.

Por ejemplo, en un caso tan fácil como x + y = 1, es imposible determinar el valor de x o de y con tan poca información. Se necesitan dos ecuaciones.

Aquí puedes encontrar un buen ejemplo para entender el sistema de sustitución:

  • {2 x + 4 y = 20
  • {7 x + 8 y = 52

Primero, hay que armonizar las ecuaciones para que haya en ambas el mismo número de x o de y.

En este ejemplo concreto, se pueden multiplicar todos los términos de la primera ecuación por 3,5 para obtener el mismo número de x en ambas ecuaciones (7x).

Sin embargo, parece más fácil proceder con las y multiplicando los miembros de la primera ecuación por 2.

Da igual cuál de las dos opciones elegir.

Así, la primera ecuación quedaría: 2 ( 2 x + 4 y ) = 20 * 2 y, por lo tanto, el sistema sería:

  • {4 x + 8 y = 40
  • {7 x + 8 y = 52

Ahora que ya hay el mismo número de y en las dos ecuaciones (o de x si elegimos la opción de multiplicar por 3,5), vamos a restar las dos ecuaciones.

Podemos restar la primera a la segunda o viceversa, puesto que el resultado será el mismo.

Obtenemos por lo tanto:

  • (7 x + 8 y) – (4 x + 8 y) = 52 – 40
  • 7 x + 8 y – 4 x – 8 y = 12
  • 3 x = 12
  • Es decir, x = 4

Ahora que ya sabemos el valor de x, reemplazamos las x iniciales por su valor, es decir, por 4. Ahora se resuelven las ecuaciones como si fueran de primer grado con una única incógnita.

Así, la primera ecuación quedaría:

  • 2 * 4 + 4 y = 20
  • 4 y = 20 – 8
  • y = 12 /4 = 3

Podemos hacerlo también en la segunda ecuación para verificar el resultado:

  • 7 * 4 + 8 y = 52
  • 8 y = 52 – 28
  • y = 24 / 8 = 3

Las soluciones de la ecuación son x = 3 e y = 4: S = {4 ; 3}

Método de sustitución

Los juegos de matemáticas requieren a menudo cálculos complejos.

El método por sustitución es un poquito diferente. Consiste en extraer la x en función de y o al revés.

Volvamos al ejemplo anterior:

  • {2 x + 4 y = 20
  • {7 x + 8 y = 52

En la primera ecuación, podemos intentar extraer la x en función de y.

  • 2 x + 4 y = 20
  • 2 x = 20 – 4 y
  • x = 10 – 2 y

Ahora que ya tenemos un valor de x en función de y, vamos a insertar este valor en la segunda ecuación.

  • 7 x + 8 y = 52
  • 7 ( 10 – 2 y) + 8 y = 52
  • 70 – 14 y + 8 y = 52
  • – 6 y = – 18 , por lo que y = 3

A continuación, podemos coger la primera ecuación y, de nuevo, resolverla como una ecuación que tiene una única incógnita.

  • 2 x + 4 y = 20
  • 2 x + 4 (3) = 20
  • 2 x = 20 – 12
  • x = 4

Como verás, se obtienen los mismos resultados con los dos métodos.

¡Atención!

Todos los sistemas con dos incógnitas pueden resolverse por reducción o por sustitución. En algunos casos, uno de los dos métodos será más rápido que el otro. Algunos alumnos prefieren el método de reducción, y otros, el de sustitución. Lo más importantes es controlar el método que se utiliza.

Combinar las ecuaciones y los problemas

En las clases particulares de matematicas, en un examen o en cualquier otro ejercicio, te pueden pedir que resuelvas ecuaciones dentro de un problema.

Incluso en geometría podemos ayudarnos de una ecuación para resolver el problema.

El mecanismo es muy simple, solo tenemos que ser, una vez más, muy rigurosos si queremos obtener una respuesta correcta:

  • leer varias veces el enunciado para poder entenderlo bien
  • determinar cuál es la incógnita (o las incógnitas) que normalmente corresponde al número que te pregunta el problema.
  • traducir y simplificar el texto con términos matemáticos
  • resolver la ecuación obtenida
  • comprobar el resultado varias veces
  • redactar la respuesta con la solución del problema

En algunos casos puede tratarse de un problema geométrico, pero el procedimiento es el mismo. Solo tendrás que elaborar un esquema en sucio, con la ayuda de tus conocimientos de geometría, para poder resolverlo.

Este es un ejemplo típico de un problema a resolver con una ecuación:

Son tres primos, Juan, Laura y Lucas y los tres juntos tienen 60 años. ¿Cuántos años tiene cada uno sabiendo que la edad de Lucas es el triple de la edad de Laura y que la de Juan es 10 años menos que la de Lucas?

Para resolver este problema sabemos que la edad de cada uno de ellos son las incógnitas que tenemos que resolver.

Son varias las opciones que tienes que si quieres mejorar en matemáticas y profundizar los conocimientos sobre ecuaciones a largo plazo.

¿Cómo se resuelve una inecuación de primer grado?

Todos aquellos que estudien bachillerato o la ESO, tendrán que vérselas con las inecuaciones.

De nuevo, habrá que controlar las reglas básicas para resolver ecuaciones.

Tanto las ecuaciones como las inecuaciones resultan verdaderamente útiles para los estudios universitarios de ciencias. Por eso, es necesario aprenderlas en bachillerato o en la ESO.

Vamos a ver cómo se resuelve una inecuación de primer grado:

Por ejemplo, 4 x + 5 ≤ x – 2.

Para resolver esta inecuación, hay que encontrar que conjunto de números (valores de x) sirven para que la ecuación 4 x + 5 sea inferior o igual à x – 2.

Se procede de igual forma que para resolver una ecuación de primer grado:

4 x + 5 ≤ x – 2

⇔ 4 x ≤ x – 7 (hemos pasado el valor de 5 de un lado al otro, por lo que su signo cambia)

⇔ 4 x – x ≤ x – 7 – x

⇔ 3 x ≤ -7

⇔ x ≤ -7/3

Por lo tanto, la solución de la inecuación es el conjunto de números inferiores o iguales a -7/3.

Es decir, el conjunto de valores inferiores o iguales a la inecuación 4 x + 5 ≤ x – 2 es el conjunto de números reales y decimales definidos en un intervalo infinito hasta el valor -7/3 (estando este valor incluido).

Otras ecuaciones más complejas

Si te gustan los retos, ¡atrévete con el cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales!

Resolver ecuaciones diferenciales

Son ecuaciones en las que la incógnita es una función y que se presentan en forma de una relación entre esta función y sus derivados.

Por lo tanto, hay que tener una buena base de funciones y de ecuaciones.

Por ejemplo, f(x) = y’=ay+b, donde y es la función desconocida, a y b son números conocidos y f es una función conocida.

Las soluciones del conjunto de números reales (marcados como R) de la ecuación diferencial y’=ay+b son las funciones f(x) = keax – b/a, donde k es una constante real.

Estas ecuaciones se dan en las clases de matemáticas más exigentes.

Resolver ecuaciones logarítmicas

Este tipo de ecuación no es fácil tampoco, pero con unas clases particulares lo entenderás todo.

Se dice que las matemáticas son abstractas.

Lo primero, es transformar la ecuación logarítmica por una ecuación exponencial.

y = logb (x) única y exclusivamente si by = x.

El valor de b debe ser positivo, y no debe ser igual a 1.

Hay que identificar la base (b), la potencia (y) y la expresión exponencial (x).

Por ejemplo, la ecuación 5 = log4(1024):

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Después, eleva la base a la potencia indicada: 45 = 1024.

Para encontrar el valor de x, hay que aislar el logaritmo neperiano.

Para ello, pasamos todos los miembros no logarítmicos del otro lado de la ecuación:

  • log3(x + 5) + 6 = 10
  • log3(x + 5) + 6 – 6 = 10 – 6
  • log3(x + 5) = 4

La escritura logarítmica debe transponerse en escritura exponencial para encontrar la x. 

Se obtiene 34 = x + 5 (siguiendo la fórmula y = logb (x) única y exclusivamente si by = x). Así, llegamos a una ecuación de primer grado en la que resulta, por así decirlo, sencillo hallar la :

  • 34 = x + 5
  • x + 5 = 81
  • x = 76.

¿Quieres perfeccionar tu nivel de matemáticas?

Elegir un buen profesor de matemáticas puede ayudarte a progresar rápidamente.

Hay varias soluciones para perfeccionar tu nivel de matemáticas y profundizar tus conocimientos sobre las ecuaciones.

Dar clases particulares de matemáticas con un profesor particular te hará progresar mucho.

Un profesor de matemáticas debe guiar a su aprendiz, como joven matemático que es, para que descubra los mecanismos de comprensión y los automatismos.

Superprof te ofrece un gran número de profesores de matemáticas. No dudes en contactar con alguno de ellos para aprender y practicar durante el año escolar.

Estas clases te serán muy útiles si tienes dificultades para resolver una ecuación, para factorizar una expresión o si estás cabreado con los números decimales, los números relativos, los números reales y los números racionales.

También, podrás aprender a resolver enigmas matemáticos.

El profesor o la profesora te explicarán los sistemas de ecuaciones adaptándose a tu ritmo… ¡y con una pedagogía lúdica e interactiva!

Puedes complementar tus clases repasando regularmente con fichas o viendo videos de matemáticas en Youtube… ¡así lograrás ser mejor en matemáticas!

En resumen:

  • Las ecuaciones e inecuaciones son la base de la aritmética (la cual no debe ser confundida con el álgebra) y son muy importantes para resolver numerosos ejercicios matemáticos.
  • Hay muchos conceptos que te seguirán durante tu vida escolar y universitaria: las ecuaciones trigonométricas, las ecuaciones de primer grado, las ecuaciones de segundo grado, ecuaciones con varias incógnitas
  • Conceptos como calcular el área, las representaciones gráficas, las funciones exponenciales, el álgebra lineal o las probabilidades pueden serte útiles durante toda la vida y te proporcionarán un razonamiento cognitivo más rápido.

Si deseas profundizar éste tema, descubre la lista de los problemas de matemáticas jamás resueltos.

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