Si alguna vez en clase de matemáticas te preguntaste “¿y esto para qué me va a servir?”, seguramente estabas frente a una ecuación o un polinomio que había que factorizar.
La buena noticia es que no necesitas ser un genio en números para entenderlo: factorizar es simplemente aprender a “desarmar” expresiones o números en partes más pequeñas, más fáciles de manejar.
En este artículo vamos a ver qué significa factorización, cómo se hace paso a paso, para qué sirve y qué técnicas existen. Así, podrás afrontar las matemáticas con más tranquilidad.
Todo te lo explicaremos de forma sencilla, con ejemplos claros y prácticos. La idea es que cuando termines de leer, puedas mirar un polinomio o una fracción complicada y digas: “ok, ya sé cómo desarmarlo para entenderlo mejor”.
Así que, si quieres dejar de ver la factorización como un dolor de cabeza y empezar a verla como una llave maestra para resolver problemas matemáticos (y hasta de la vida real), este artículo es para ti.
Los números primos son la base de la factorización, y aunque parecen sencillos, son clave para la seguridad en internet (encriptación RSA).
¿Qué es factorización?
Antes de meternos en fórmulas y pasos, hay que responder lo básico: ¿qué es la factorización?
En palabras simples, factorizar es “desarmar” una expresión matemática en piezas más pequeñas llamadas factores, que al multiplicarlas de nuevo te dan el mismo resultado original.
👉 Piensa en un rompecabezas: la figura completa es tu polinomio o número, y las piezas son sus factores. Por ejemplo:
- x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
Lo que hiciste fue reescribir el polinomio como un producto de cosas más sencillas.
Ahora, ojo aquí: factorizar no es lo mismo que resolver. Resolver una ecuación es encontrar el valor de xx, mientras que factorizar es solo dejar la ecuación lista para poder resolverla.
En resumen:
- Factorizar = separar en factores.
- Resolver = encontrar el valor de la incógnita.
Y sí, muchas veces necesitas factorizar para poder resolver, sobre todo cuando hablamos de ecuaciones cuadráticas. Aunque si prefierez profundizar en aspectos económicos, descubre un curso de matematicas financieras con Superprof.
Para qué sirve la factorización
Cualquier estudiante se ha preguntado “¿y para qué sirve factorizar si no soy matemático?”. La verdad es que sirve mucho más de lo que parece.
En matemáticas básicas
- Te ayuda a simplificar fracciones.
- Facilita operaciones con números grandes al descomponerlos en primos.
- Es la base para entender divisiones y múltiplos.
En álgebra
Aquí es donde factorizar brilla:
- Te permite resolver ecuaciones que parecen complicadas.
- Hace más fácil detectar patrones como “trinomio cuadrado perfecto” o “diferencia de cuadrados”.
- Ahorra pasos y evita que te pierdas en el mar de términos.
En la vida real (aunque no lo creas)
- Las computadoras usan procesos de factorización para cifrar datos y mantener segura tu información.
- Si algún día estudias ingeniería, economía o estadística, la factorización va a ser tu mejor amiga para simplificar modelos.
En pocas palabras: factorizar es como tener la llave maestra. Tal vez no siempre notes cuándo la usas, pero está detrás de muchas soluciones matemáticas (y hasta tecnológicas).
La ecuación
Para comprender la factorización, primero hay que entender las ecuaciones. Seguro que tu profesor ya te lo ha dicho, pues esto es básico para progresar en matemáticas.
Por lo que, antes de empezar a hacer una ecuación de matemáticas, tienes que conocer la definición.
Según la RAE, una ecuación es «Igualdad que contiene una o más incógnitas».
En esta primera definición, más bien generalista, el término de incógnita aparece. Este elemento no desaparecerá hasta la resolución de la ecuación.
Estos son los elementos que tienes que entender para resolver una ecuación:
- Se trata de una igualdad entre dos expresiones algebraicas
- hay que despejar una o varias incógnitas
- una de las variables se denomina «x»
- son útiles para la resolución de problemas
A la hora de resolver (y factorizar) una ecuación nos da lo mismo que se trate de una ecuación de segundo grado, de una ecuación con una sola incógnita o de una ecuación diferencial.
Si este tema te parece un tanto complejo, no dudes en tomar clases de calculo con un maestro particular para que te explique todo a tu manera.
Qué es factorizar un número
Hasta ahora hablamos de polinomios, pero también puedes factorizar números. Aquí el truco está en descomponer un número en factores primos, es decir, en los números más chiquitos que no se pueden dividir más (los famosos primos: 2, 3, 5, 7, 11…).
👉 Piensa en esto como “desarmar” un número en sus piezas más básicas. Por ejemplo:
- El número 12 se puede factorizar así: 12=2×2×3
- Otro ejemplo: el número 30 se factoriza en: 30=2×3×5
¿Para qué sirve factorizar un número?
Aunque al inicio suene medio teórico, la verdad es que lo usas en muchas cosas:
- Simplificar fracciones: si tienes 1230\frac{12}{30}, al factorizar ambos números (12 = 22×32^2 \times 3, 30 = 2×3×52 \times 3 \times 5) ves rápido que puedes simplificar y queda 25\frac{2}{5}.
- Encontrar divisores comunes: factorizar ayuda a calcular el máximo común divisor (MCD) o el mínimo común múltiplo (MCM).
- Ordenar problemas grandes: en matemáticas avanzadas (y hasta en programación), factorizar números enormes es la base de sistemas de seguridad como la encriptación.
En pocas palabras: factorizar un número es descomponerlo en sus ladrillos más básicos, y esos ladrillos son los números primos.
Cómo se factoriza
Ya vimos qué es la factorización y para qué sirve. Ahora toca lo bueno: aprender cómo se hace la factorización paso a paso. No te preocupes, no necesitas ser genio en matemáticas; se trata de seguir ciertas reglas y reconocer patrones.
Paso 1: Busca un factor común
El factor común es como encontrar lo que todos los términos tienen en común. Ejemplo:
- 6x+96x + 9
Ambos términos tienen un 3, así que lo sacamos:
- 6x+9=3(2x+3)6x + 9 = 3(2x + 3)
¡Listo! Ya factorizaste.
Paso 2: Revisa si se puede agrupar
A veces no hay un factor común obvio, pero puedes agrupar términos. Ejemplo:
- x3+x2+x+1x^3 + x^2 + x + 1
Agrupamos en dos pares:
- (x3+x2)+(x+1)(x^3 + x^2) + (x + 1)
Sacamos factor común en cada grupo:
- x2(x+1)+1(x+1)x^2(x+1) + 1(x+1)
Ahora ambos tienen (x+1)(x+1):
- (x2+1)(x+1)(x^2 + 1)(x+1)
Paso 3: Aprende los “atajos” más comunes
Existen casos especiales que siempre aparecen:
- Diferencia de cuadrados: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)a2−b2=(a−b)(a+b)
- Ejemplo: x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)x2−9=(x−3)(x+3)
- Trinomio cuadrado perfecto: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2
- Ejemplo: x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2x2+6x+9=(x+3)2
- Trinomio simple: cuando tienes algo como x2+5x+6x^2 + 5x + 6x2+5x+6
- Buscas dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5 → (2 y 3).
- x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Tips rápidos sobre cómo hacer la factorización
- Siempre revisa si hay números en común antes de hacer algo más complicado.
- Aprende a reconocer patrones (cuadrados, trinomios, etc.).
- No te desesperes: muchas veces es cuestión de probar con números hasta que encaje.
Recuerda que factorizar es como “desarmar” la expresión en piezas más sencillas. A veces basta con sacar un número en común, y otras con aplicar una de las técnicas clásicas.
Si necesitas más tips o recursos para aprender de forma sencilla, toma cursos de matematicas en linea con un maestro Superprof.
Cómo hacer una factorización de polinomios
Aquí vamos a enfocarnos en polinomios, que son esas expresiones con varias “piezas” (términos) sumadas o restadas.
La clave está en recordar que factorizar un polinomio es reescribirlo como producto de expresiones más simples, sin resolver todavía nada.
Factorizar expresiones vs. factorizar ecuaciones
- Expresión: No tiene signo igual.
- Ejemplo: x2+5x+6x^2 + 5x + 6
- Si la factorizas, solo la reescribes: x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
- Ecuación: Sí tiene signo igual.
- Ejemplo: x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0
- Aquí factorizar es el primer paso para resolverla:
- (x+2)(x+3)=0⇒x=−2, x=−3(x+2)(x+3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2, \; x = -3
La diferencia entre cómo se factoriza una ecuación y una expresión es que con la ecuación, después de factorizar, ya puedes encontrar el valor de x.
En matemáticas, factorizar un polinomio de quinto grado o más no siempre tiene una fórmula general (el teorema de Abel lo demuestra).
Ejemplo paso a paso con polinomios
Supongamos que tienes: 2x2+8x2x^2 + 8x
- Busca un factor común: 2x(x+4)2x(x + 4)
- Revisa si queda algo más por factorizar: en este caso ya no, así que ahí terminas.
Otro ejemplo: x2+7x+10x^2 + 7x + 10
- Busca dos números que multiplicados den 10 y sumados den 7 → 5 y 2.
- Factoriza: (x+5)(x+2)(x+5)(x+2)
¿Por qué es útil aprender qué significa factorización?
Porque muchas veces las expresiones no se pueden simplificar a simple vista. Factorizar es como ordenar el desorden para que después puedas resolver la ecuación, simplificar fracciones o identificar patrones.
Y para que quede más claro:
- Factorizar una expresión = reescribirla en forma de producto.
- Factorizar una ecuación = preparar el terreno para resolverla.
Cómo factorizar ecuaciones
Hasta ahora hemos trabajado con expresiones, pero lo más común es que te pidan resolver ecuaciones usando factorización. Y aquí sí vamos directo al grano: el objetivo ya no es solo “reescribir”, sino encontrar el valor de la incógnita (x).
Para conseguir resolver una ecuación son varios los factores a tener en cuenta relativos al aprendizaje de las matemáticas y al famoso «espíritu matemático» que tenemos que ir adquiriendo a lo largo de nuestra etapa escolar.
Y es que factorizar una ecuación es un paso previo o auxiliar para resolver ecuaciones, sobre todo cuadráticas. Para lograrlo, es necesario contar con las siguientes cualidades:
- La rigurosidad. Cuando estamos haciendo matemáticas hay que ser rigurosos y aún más cuando se trata de las ecuaciones. Cuando estemos ante un ejercicio de matemáticas o frente a un examen, hay que ser precisos y razonar con lógica.
- La memoria. Las matemáticas te van a hacer trabajar tu memoria. Trabajando regularmente, serás capaz de relacionar los conceptos de tu curso de matematicas y aplicarlos para así, conseguir resolver la ecuación propuesta.
- La organización. Para resolver una ecuación hay que ir paso a paso. La organización, dentro del marco del entorno de trabajo, te permitirá afrontar el ejercicio con cierta calma. No tienes que precipitarte.
¿Cuándo se aprenden las ecuaciones?
Cuando pasas a secundaria, en tus clases de matemáticas van a ir apareciendo las ecuaciones progresivamente.
Poco a poco vamos aprendiendo a resolver las ecuaciones a través de las famosas «expresiones literales» que son las fórmulas matemáticas en las que aparecen las letras.
Este es un ejemplo de una ecuación propuesta en 1º de secundaria: 7x + 5 = 3x – 15. Y a través de esta ecuación hay que despejar la incógnita (x).
En 2º y 3º de la secundaria van apareciendo las fracciones y los números negativos para preparar así a los alumnos a la consecución del graduado escolar.
En un examen de este nivel las ecuaciones pueden adoptar esta forma:
- (8x-6)/9-(-10x-6)/6 = (x-5)/4
Conforme vas dejando atrás la secundaria, el nivel de matemáticas va aumentando y con ello la complejidad de las ecuaciones. Sobre todo para aquellos que se decanten por la opción más científica o tecnológica.
Así, entrarán a tu temario temas como las tablas de variación de una función.
Pasos para factorizar una ecuación
- Escribe la ecuación en forma estándar. La forma clásica de una cuadrática es:
- ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0(o sea, todo de un lado y 0 del otro).
- Factoriza el polinomio. Busca los factores del trinomio usando las técnicas que ya vimos.
- Aplica la propiedad del producto cero.
- Si A⋅B=0A \cdot B = 0, entonces A=0A=0 o B=0B=0.
- Resuelve cada ecuación más sencilla. Obtén los valores de xx.
Ejemplo 1:
Resuelve: x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0
- Paso 1. Ya está en forma estándar.
- Paso 2. Factorizamos: (x+2)(x+3)=0(x+2)(x+3) = 0
- Paso 3. Producto cero: x+2=0ox+3=0x+2=0 \quad \text{o} \quad x+3=0
- Paso 4. Soluciones: x=−2yx=−3x=-2 \quad y \quad x=-3
Ejemplo 2:
Resuelve: 2x2+4x=02x^2 + 4x = 0
- Paso 1. Ya está igualado a 0.
- Paso 2. Sacamos factor común: 2x(x+2)=02x(x+2) = 0
- Paso 3. Producto cero: 2x=0ox+2=02x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0
- Paso 4. Soluciones: x=0yx=−2x=0 \quad y \quad x=-2
Si no encuentras factores de inmediato, recuerda: los números deben multiplicarse para dar el último término (c) y sumarse para dar el del medio (b).
En pocas palabras: factorizar una ecuación es el truco que te lleva directo a la solución. Solo necesitas dejar todo igualado a 0, factorizar y aplicar la regla del producto cero.
No todas las expresiones se factorizan igual. Y si deseas aprender en mayor profundidad, anímate a tomar unas clases de calculo.
Técnicas de factorización
1. Factor común
Busca lo que todos los términos comparten. Ejemplo:
- 6x+9=3(2x+3)6x + 9 = 3(2x+3)
Es el método más rápido y básico.
2. Factor común por agrupación
Sirve cuando no hay un factor común en todos, pero sí en pares. Ejemplo:
- x3+x2+x+1x^3 + x^2 + x + 1
Agrupamos: (x3+x2)+(x+1)=x2(x+1)+1(x+1)(x^3 + x^2) + (x+1) = x^2(x+1) + 1(x+1)
Sacamos (x+1)(x+1):
(x2+1)(x+1)(x^2+1)(x+1)
3. Diferencia de cuadrados
Cuando tienes un cuadrado menos otro cuadrado.
Fórmula: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Ejemplo:
- x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x-4)(x+4)
4. Trinomio cuadrado perfecto
Cuando un polinomio es el cuadrado de un binomio.
- Fórmula: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
- Ejemplo: x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
5. Trinomio simple (ax² + bx + c)
Busca dos números que multiplicados den cc y sumados den bb.
- Ejemplo: x2+7x+10=(x+5)(x+2)x^2 + 7x + 10 = (x+5)(x+2)
6. Suma o diferencia de cubos
Menos común, pero también aparece.
- Fórmulas: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
- Ejemplo: x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)
7. Otros casos especiales
En niveles más avanzados aparecen técnicas como polinomios de cuarto grado, racionalización o métodos generales como la fórmula general para cuadráticas (que en sí no es factorización, pero complementa).
No intentes memorizar todo de golpe. Empieza dominando el factor común y la diferencia de cuadrados, porque son los que más se repiten. Poco a poco irás reconociendo los otros.
La importancia de saber cómo se hace una factorización
Llegamos al final, y seguramente ya viste que factorizar no es solo un truco de matemáticas aburridas de tu clase de calculo, sino una herramienta que abre muchas puertas.
La factorización está en todos lados: desde tus primeras clases de álgebra hasta áreas mucho más avanzadas como la informática, la estadística o la ingeniería. Y aquí te dejamos algunas ventajas de saber factorización qué es:
1. Factorizar es entender la lógica detrás de los números
Cuando factorizar se te hace costumbre, empiezas a ver patrones donde antes solo veías caos. Esa expresión larga y complicada que parecía imposible, de pronto se convierte en algo mucho más manejable.
Es como cuando aprendes a desarmar una máquina y descubres que, al final, está hecha de piezas sencillas.
2. Factorizar te prepara para resolver problemas
No olvides esto: la factorización casi siempre es un paso previo a resolver algo más grande.
- Si tienes una ecuación, factorizar te lleva directo a los valores de xx.
- Si trabajas con fracciones, factorizar te permite simplificarlas sin error.
- Si estudias temas más avanzados, la factorización será parte de la base para cálculos más complejos.
En pocas palabras: factorizar no siempre es el final, pero sí el inicio de la solución.
3. Factorizar es una llave en la vida real
Aunque parezca exagerado, hasta fuera del salón de clases se usa. Los sistemas de seguridad digital que protegen tus datos bancarios, tus chats o tus contraseñas se basan en problemas de factorización de números enormes. Resolverlos es tan difícil que justamente por eso funcionan como “candado”.
Así que, aunque tú no te sientes a factorizar números de 100 cifras, hay matemáticas trabajando detrás para que puedas hacer una transferencia o mandar un mensaje sin que nadie lo intercepte.
4. Aprender a factorizar es entrenar tu mente
Más allá de los números, la factorización desarrolla una forma de pensar:
- Te enseña a dividir problemas grandes en pasos más pequeños.
- Te ayuda a reconocer patrones.
- Te da la paciencia para probar, equivocarte y volver a intentar.
Estas son habilidades que aplicas en todo: desde organizar tus finanzas hasta resolver problemas cotidianos.
Consejos de cómo se factoriza
- Empieza simple: practica con factor común y diferencia de cuadrados.
- Hazlo visual: escribe los pasos y no te saltes ninguno.
- Sé paciente: si no sale a la primera, revisa los números y prueba otra combinación.
- Reconoce patrones: con práctica, sabrás de un vistazo si es un trinomio cuadrado perfecto o si conviene agrupar.
Aprender cómo se factoriza es más que un tema escolar: es una habilidad que entrena tu lógica y te abre puertas en muchos ámbitos.
Tal vez al principio lo veas como algo tedioso, pero poco a poco descubrirás que, cuando dominas estas técnicas, todo se vuelve más claro y hasta disfrutable.
Así que la próxima vez que veas un polinomio largo o una fracción imposible, recuerda: factorizar es tu llave para simplificar, entender y resolver.
Aprender a cómo hacer la factorización de forma simple
Hay varias soluciones para perfeccionar tu nivel de matemáticas y profundizar tus conocimientos sobre las ecuaciones y la factorización.
Dar clases particulares de matemáticas o cursos estadística con un profesor particular te hará progresar mucho en tus matematicas secundaria.
Un profesor de matemáticas debe guiar a su aprendiz, como joven matemático que es, para que descubra los mecanismos de comprensión y los automatismos.
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Estas clases te serán muy útiles si tienes dificultades para resolver una ecuación, para factorizar una expresión o si estás cabreado con los números decimales, los números relativos, los números reales y los números racionales.
También, podrás aprender a resolver enigmas matemáticos.
El profesor o la profesora te explicarán los sistemas de ecuaciones adaptándose a tu ritmo... ¡y con una pedagogía lúdica e interactiva!
Puedes complementar tus clases repasando regularmente con fichas o viendo videos de matemáticas en Youtube… ¡así lograrás ser mejor en matemáticas!
En resumen:
- Las ecuaciones e inecuaciones son la base de la aritmética (la cual no debe ser confundida con el álgebra) y son muy importantes para resolver numerosos ejercicios matemáticos.
- Hay muchos conceptos que te seguirán durante tu vida escolar y universitaria: las ecuaciones trigonométricas, las ecuaciones de primer grado, las ecuaciones de segundo grado, ecuaciones con varias incógnitas…
- Conceptos como calcular el área, las representaciones gráficas, las funciones exponenciales, el álgebra lineal o las probabilidades pueden serte útiles durante toda la vida y te proporcionarán un razonamiento cognitivo más rápido.
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Superprof te lo resume
Después de todo este recorrido, lo esencial es esto:
- Factorizar significa separar en factores. Es como desarmar un número o una expresión para ver sus piezas básicas.
- Sirve para un montón de cosas: simplificar fracciones, resolver ecuaciones, encontrar divisores, reconocer patrones y hasta entender cómo funciona la seguridad digital.
- Los pasos básicos siempre empiezan buscando un factor común, agrupando términos y aplicando casos conocidos (como la diferencia de cuadrados o los trinomios).
- Expresiones y ecuaciones no son lo mismo: factorizar una expresión es solo reescribir, mientras que factorizar una ecuación te prepara para encontrar la solución.
- Las técnicas de factorización son como herramientas: algunas las usarás todo el tiempo (factor común, trinomio simple) y otras menos, pero todas te ayudan a simplificar.
En pocas palabras: factorizar es tu mejor recurso para simplificar, entender y resolver matemáticas paso a paso.
Al principio puede parecer tedioso, pero mientras más practiques, más natural se volverá. Y lo mejor: esta habilidad no solo te ayudará en la escuela, también entrenará tu mente para dividir problemas grandes en pasos pequeños y claros.
Así que la próxima vez que te topes con un polinomio o una ecuación complicada, ya sabes: respira, busca el factor común y empieza a desarmar el rompecabezas.
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Hay un error en la solución:
Concretamente, para esta ecuación (3x-5=x+2) tu cálculo tendrá que ser parecido a este:
3x+x= 5+2 (aquí se aísla la incógnita) (x debe ser negativo)
4x = 7 (se reagrupan los otros elementos de la ecuación) (Lo correcto es 2x =7)
x= 7/4 (se divide entre 4) (Lo correcto es x =7/2)
S = 7/4
Hola Juan,
Muchas gracias por la observación, la pasamos a nuestros redactores para mejorar la calidad del artículo.
Saludos!
y si tengo una ecuacion de -x-6y=8 y 7x-15y=1 en metodo de eliminacion suma y resta para multiplicar x cuanto vale como x por toda la ecuacion de 7x-15y=1